เพชรยอดมุงกุฏ 2552

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

$10.จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 7777....7(1001ตัว) ด้วย 1001$

$7 \div 1001 $ เหลือเศษ 7

$77 \div 1001 $ เหลือเศษ 77

$777 \div 1001 $ เหลือเศษ 777

$7777 \div 1001 $ เหลือเศษ 770

$77777 \div 1001 $ เหลือเศษ 700

$777777 \div 1001$ เหลือเศษ 0

$7777777 \div 1001 = (7777770+7) \div 1001 $ เหลือเศษ 7

$77777777\div 1001 = (77777700+77) \div 1001$ เหลือเศษ 77

$777777777\div 1001 = (777777000+777) \div 1001 $ เหลือเศษ 777
.
.
.
.
เลขวน 6 รอบ

$1001 \div 6 $ เหลือเศษ 5 ซึ่งตรงกับ 700

ดังนั้นตอบว่า เศษที่เกิดจากการหาร 7777....7(1001ตัว) ด้วย 1001 คือ 700

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มาช่วยเติมให้ครับ



พจน์ที่ 1 $ \ \ \ \ $ 3+6
พจน์ที่ 2 $ \ \ \ \ $ 3+6+9
พจน์ที่ 3 $ \ \ \ \ $ 3+6+9+12
...

จงหาพจน์ที่ 150

พจน์ที่ 1 $ \ \ \ \ $ 3+6
พจน์ที่ 2 $ \ \ \ \ $ 3+6+9
พจน์ที่ 3 $ \ \ \ \ $ 3+6+9+12
พจน์ที่ 4 $ \ \ \ \ $ 3+6+9+12 +3(n+1)
.
.
.
พจน์ที่ 150 $ \ \ \ \ $ 3+6+9+12 +......+3(150+1)
พจน์ที่ 150 $ \ \ \ \ $ 3+6+9+12 +......+453

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

ข้อ 3 ครับ

$จงหาหลักหน่วยของ 1^5+2^5+3^5+...+99^5$

$1^5 = ...1 , 2^5 = ...2 , 3^5 = ...3 -->> 99^5 = ...9$

หลักหน่วย = 1+2+3+...+99 = 4950..

หลักหน่วย คือ 0

$\therefore หลักหน่วยของ 1^5+2^5+3^5+...+99^5 = 0 $

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คuรักlaข

รู้สึกจะให้หาเลขโดดในหลักสิบไม่ใช่เหรอครับ

หาหลักหน่วยน่าจะถูกแล้วครับ

ถ้าให้หาหลักสิบ ก็อ๊วกเลยครับ

ข้อนี้ หลักหน่วยจะลงท้ายด้วย 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 รวม 10 ชุด ผลรวมหลักหน่วยเท่ากับ 450 (ใส่ 0 ทด 45)

ดังนั้นหลักหน่วยคือ 0

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

1.จงหาค่าของ

4.จงหาของของ $1^2-2^2+3^2-4^2......................+(2n-1)^2-(2n)^2$

$1^2-2^2+3^2-4^2......................+(2n-1)^2-(2n)^2$

$ = (1^2-2^2)+(3^2-4^2) ......................+[(2n-1)^2-(2n)^2 ]$

$[(1+2)(1-2)] + [(3+4)(3-4)] + ........+ [(2n-1+2n)(2n-1-2n)]$

$= -1 -2 -3 -4 -.......-4n+1$

$ = - (1+2+3+4+ .....+ 4n) +1$

$ = - \dfrac{4n(4n+1)}{2} +1$

$ = - \dfrac{16n^2+4n+2}{2}$

$= - \dfrac{1}{2} (2n+1)(8n-2)$

$= - (2n+1)(4n-1)$

$= (2n+1)(1-4n)$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

โจทย์รอบชิงตัวครับ ใครจดมาก็เอามาลงเพิ่มเลยนะครับ ช่วยกันเฉลยวิธีทำกันด้วยนะครับ

$9.\sqrt{2-x} +4{\sqrt{2-x}+3} =2 \ \ \ \ หา \ \ x $

$\sqrt{2-x} +4{\sqrt{2-x}+3} =2 $

$5\sqrt{2-x} +3 = 2$

$\sqrt{2-x} = -\frac{1}{5}$

$2-x = \frac{1}{25}$

$x= 1\frac{24}{25}$


มาเพิ่มเติมว่า คำตอบนี้ผิด แทนค่าแล้วไม่เป็นจริง
$ \sqrt{x} $ ต้องเท่ากับ $|n|$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. จงหาค่าของ $\frac{1^2}{(1)(3)}+\frac{2^2}{3(5)}+\frac{3^2}{5(7)}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}$

$ \because \ \ \frac{1^2}{(1)(3)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{1\cdot 3 }+1) = \dfrac{1}{8}(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}+2)$


$ \because \ \ \frac{2^2}{(3)(5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{3\cdot 5 }+1) = \dfrac{1}{8}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}+2)$

$ \because \ \ \frac{3^2}{(5)(7)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{5\cdot 7 }+1) = \dfrac{1}{8}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}+2)$


$ \therefore \ \ \frac{1^2}{(1)(3)}+\frac{2^2}{3(5)}+\frac{3^2}{5(7)}+.... +\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}= ( \dfrac{1}{8}(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}+2)) + (\dfrac{1}{8}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}+2)) + (\dfrac{1}{8}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}+2)) +...+ (\dfrac{1}{8}(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}+2)) $

$= \dfrac{1}{8} (1-\frac{1}{n} + 2n)$

$=\dfrac{2n^2+n-1}{8n}$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$10^{999}-999 = 10^{999}-1000 +1 = 10^{999}-10^3+1$

\(\overbrace{999999..\cdots..999999}^{996ตัว}\)$001$

$996\times 9 +1 \ = \ 8965$

ผมว่าพี่ banker คูณเลขผิดอ่ะครับ ที่ถูกควรเป็น...ตามที่แก้ให้อ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมว่าพี่ banker คูณเลขผิดอ่ะครับ ที่ถูกควรเป็น...ตามที่แก้ให้อ่ะครับ

ขอบคุณครับ (แก้แล้วครับ)

ผมว่าปีนี้ผมแก่ขึ้นแยะนะ เห็นเลข 6 เป็นเลข 9
แหม..... ไม่เคยแก่ขนาดนี้มาก่อนเลย

[LightLucifer]

#20
มีรูทที่เป็นลบในระบบจำนวนจริงด้วยหรอครับ

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\sqrt{2-x} = -\frac{1}{5}$

ผมว่าน่าจะผิดตรงนี้นะครับ

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

กำหนดให้ $N=P_1P_2P_3$ เมื่อ $P_1,P_2,P_3$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
ถ้า $\sum_{d|N} d= 3N$ จงหา $\sum_{d|N} \frac{1}{d} $

ข้อนี้คิดยังไงอ่ะครับ

ปล.ผมว่าโจทย์ปีนี้แทนช้อยได้หลายข้อเลยอ่ะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

xx. กำหนดให้ $N=P_1P_2P_3$ เมื่อ $P_1,P_2,P_3$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
ถ้า $\sum_{d|N} d= 3N$ จงหา $\sum_{d|N} \frac{1}{d} $

จากโจทย์...$\sum_{d|N} d= 3N$
ได้ว่า $1+P_1+P_2+P_3+P_1P_2+P_2P_3+P_3P_1+P_1P_2P_3=3P_1P_2P_3$

โจทย์ต้องการ $\sum_{d|N} \frac{1}{d} $
ก็คือ $\frac{1}{1}+\frac{1}{P_1}+\frac{1}{P_2}+...+\frac{1}{P_1P_2P_3}=\frac{1+P_1+P_2+P_3+P_1P_2+P_2P_3+P_3P_1+P_1P_2P_3}{P_1P_2P_3}$

= $3$

บางอันเขียนไม่ค่อยละเอียด ขออภัยจริงๆครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#20
มีรูทที่เป็นลบในระบบจำนวนจริงด้วยหรอครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ผมว่าน่าจะผิดตรงนี้นะครับ

ครับ มันผิดตั้งแต่ต้นแล้วครับ $\sqrt{x} = |n| $

เป็นข้อคิดไว้ติวหลาน

ขอบคุณอีกครั้งครับ

[~king duk kong~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

จากโจทย์...$\sum_{d|N} d= 3N$
ได้ว่า $1+P_1+P_2+P_3+P_1P_2+P_2P_3+P_3P_1+P_1P_2P_3=3P_1P_2P_3$

โจทย์ต้องการ $\sum_{d|N} \frac{1}{d} $
ก็คือ $\frac{1}{1}+\frac{1}{P_1}+\frac{1}{P_2}+...+\frac{1}{P_1P_2P_3}=\frac{1+P_1+P_2+P_3+P_1P_2+P_2P_3+P_3P_1+P_1P_2P_3}{P_1P_2P_3}$

= $3$

บางอันเขียนไม่ค่อยละเอียด ขออภัยจริงๆครับ

$\sum_{d|N} d$แปลว่าอะไรอ่ะครับ

[Onasdi]

แปลว่าผลบวกของ d ที่สอดคล้องเงื่อนไข d|N [จริงๆต้องมี d>0] ด้วย
เช่น $\sum_{d|6} d= 1+2+3+6$

แอบจับผิดโจทย์ครับ ผมลองแก้หา $p_1,p_2,p_3$ ปรากฎว่าไม่มีที่สอดคล้องครับ
$\sum_{d|N} d= 3N$
$(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)=3p_1p_2p_3$
ต่างกันหมดเพราะฉะนั้นมีตัวนึงที่เป็นคี่ ซึ่งจะทำให้ ฝั่งซ้ายมือเป็นคู่ ดังนั้น 2|N
จึงได้ $p_1=2$ แทนลงไป $(p_2+1)(p_3+1)=2p_2p_3$
กระจายแล้วจัดรูป $2=(p_2-1)(p_3-1)$ ได้ ${p_2,p_3}={2,3}$ ซ้ำกับ $p_1$

จริงๆโจทย์ไม่จำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไข p ต่างกันก็ได้