เพชรยอดมุงกุฏ 2552

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ข้อนี้โจทย์เป็นอย่างนี้นะครับ
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$\sqrt{2-x} +\frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$
คุณ banker ก็เลยคิดออกมาแล้วไม่มีคำตอบ
ข้อนี้ตอบ $x=1$ ครับ ได้คะแนนทั้ง 11 คนที่เข้ารอบครับ

ว่าแต่คุณ James007 ก็ได้เข้ารอบเพชรยอดใช่ไหมครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SiR ZigZag NeaRton

ว่าแต่คุณ James007 ก็ได้เข้ารอบเพชรยอดใช่ไหมครับ

น้องเจมส์ James007 ได้เข้ารอบครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มาช่วยเติมให้ครับ



39. ถ้าสมการนี้ผิดก็ขอโทษนะครับ แต่คำตอบยังเหมือนเดิม
ให้ a เป็นคำตอบของสมการ $\sqrt{4x^2-17x+15}+\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x^2-9}$ จงหา $\frac{a-1}{a+1}$

$\sqrt{4x^2-17x+15}+\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x^2-9}$

$\sqrt{4x^2-17x+15}=\sqrt{x^2-9} - \sqrt{x^2-3x}$

$\sqrt{(x-3)(4x-5)}=\sqrt{(x-3)(x+3)} - \sqrt{x(x-3)}$

$\sqrt{(4x-5)}=\sqrt{(x+3)} - \sqrt{x}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ ... x \not= 0$

$4x-5=(x+3 + x) - 2\sqrt{x(x+3)}$

$4x-5=(2x+3) - 2\sqrt{x(x+3)}$

$x-4=-\sqrt{x(x+3)}$

$x^2 - 8x +16 =x(x+3)$

$x = \frac{16}{11}$

แทนค่า $\frac{a-1}{a+1} = \frac{5}{27}$

ตัวเลขไม่ค่อยสวย ไม่รู้ผิดหรือเปล่า

มาเพิ่มเติม
คุณ Scylla_Shadowทักท้วง ผมก็ลืมไป

$(x-3) =0 $

$\frac{a-1}{a+1} = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$

อันนี้ไม่แน่ใจว่า เมื่อเราเอา $(x-3)$ หารตลอดแล้ว ยังใช้ $(x-3) =0 $ ได้หรือเปล่า

[Scylla_Shadow]

มี 3 อีกตัวนึงอ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มาช่วยเติมให้ครับ



4. จงหาค่าของ $\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}$ มั้ง จำเครื่องหมายไม่ได้อ่ะ

ให้ $ x = \sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{ 3\sqrt{21}-8}$

$x^3 = (3\sqrt{21}+8) +3(\sqrt[3]{(3\sqrt{21}+8)( 3\sqrt{21}-8}) )(\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}+\sqrt[3]{ 3\sqrt{21}-8})+ (3\sqrt{21}-8)$

$ x^3 = 6\sqrt{21} +3\sqrt[3]{125}x $

$x^3 = 6\sqrt{21} +15x $

$x(x^2-15) = 6\sqrt{21} $


ทำไปทำมา ผมว่า โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้มากกว่าครับ

จงหาค่าของ $\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}-\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}$


ให้ $x = \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}-\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}$

$x^3 = (8+3\sqrt{21}) +3(\sqrt[3]{(8+3\sqrt{21})( 8-3\sqrt{21}}) )(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8- 3\sqrt{21}})+ (8-3\sqrt{21})$

$ x^3 = 16 +3\sqrt[3]{-125}x $

$ x^3 = 16 -15x $

$ x^3 +15x -16 = 0$

$(x-1)(x^2+x+16) =0 $

$x = 1, \ \ \frac{-1\pm 3\sqrt{-7} }{2}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มี 3 อีกตัวนึงอ่ะครับ

ขอบคุณครับ

แก้ไขแล้วครับ แต่ก็ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่า

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มาช่วยเติมให้ครับ



xx. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^3+1=2\sqrt{2x-1}$

$ \because \ \ \ (x+1)^3 = (x^3+1)+3x(x+1)$

$ (x^3+1) = (x+1)^3 - 3x(x+1)$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x+1)((x+1)^2-3x)$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x+1)(x^2-x+1)$

$ (x+1)(x^2-x+1) = 2\sqrt{2x-1}$


กรณี $ (x+1) = 2 $ จะได้ $x = 1$
กรณี $ (x+1) = \sqrt{2x-1}$ จะได้ $x = \pm 2i$
กรณี $ (x^2-x+1)= 2 $ จะได้ $x = \frac{1\pm \sqrt{5} }{2}$
กรณี $ (x^2-x+1)= \sqrt{2x-1} $ จะได้ $x =$ ขี้เกียจหาแล้วครับ

ลองแทนค่า $x = 1$ แล้วสมการเป็นจริง ส่วนตัวอื่นๆยังไม่ได้แทนค่า

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

$8.a,b เป็นจน.เต็มบวก มีหรม.เท่ากับ 1 จงหา หรม.ของ a+b และ a^2-ab+b^2$

ข้อนี้ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาเพิ่มเติม
คุณ Scylla_Shadowทักท้วง ผมก็ลืมไป

$(x-3) =0 $

$\frac{a-1}{a+1} = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$

อันนี้ไม่แน่ใจว่า เมื่อเราเอา $(x-3)$ หารตลอดแล้ว ยังใช้ $(x-3) =0 $ ได้หรือเปล่า

เมื่อ x-3 = 0 เราได้ว่า x=3 เป็นคำตอบหนึ่ง

แต่ในกรณี $x\not= 3$ จะทำให้ $x-3\not= 0$ จึงสมมารถหารตลอดด้วย $\sqrt{x-3}$ ได้ครับ
ก็จะได้คำตอบของสมการอีกค่าหนึ่งซึ่งไม่เป็น 3 ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

เมื่อ x-3 = 0 เราได้ว่า x=3 เป็นคำตอบหนึ่ง

แต่ในกรณี $x\not= 3$ จะทำให้ $x-3\not= 0$ จึงสมมารถหารตลอดด้วย $\sqrt{x-3}$ ได้ครับ
ก็จะได้คำตอบของสมการอีกค่าหนึ่งซึ่งไม่เป็น 3 ครับ

ขอบคุณครับ

[narokpoom]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

มาช่วยเติมให้ครับ

คร่าวๆนะครับ แบบรวบรัดตัดความ โจทย์มันยาวอ่ะ
40.สมการ $ x^3-ax^2+52x-b=0 $ มีคำตอบหนึ่งเป็น 5 และคำตอบที่เหลือเป็นจำนวนเต็ม และมีคำตอบหนึ่งเป็น 3 เท่าของจำนวนหนึ่ง จงหา a+b

ให้คำตอบของสมการคือ 5,X และ 3X
จากความสัมพันธ์ของราก ได้ว่า ..

$ 52 = (5)(X)+(5)(3X)+(X)(3X) $
$ 52 = 5X+15X+3X^2 $
$ 52 = 20X+3X^2 $
$ 0 = 3X^2+20X-52 $
$ 0 = (3x+26)(X-2) $
$ X = \frac{-26}{3} , 2 $
แต่จากโจทย์ $ X\in\mathbf{I} $ ดังนั้น X = 2
คำตอบของสมการคือ 5, 2 และ 6

จะได้ a = 5+2+6 = 13
b = (5)(2)(6) = 60
ดังนั้น ค่าของ a+b เท่ากับ 13+60 = 73 Ans

P.S. เราก็ไปสอบมา คะแนนอนาถมาก ๆ

[[SIL]]

อยากทราบว่า คะแนนเต็มเท่าไหร่ ให้เวลาทำเท่าไหร่ และมีทั้งหมดกี่ข้อครับ

[James007]

คะแนนเต็ม 40 คะแนน มี 40 ข้อ ให้เวลาทำ 2 ชั่วโมงครับ
มีผู้แข่งขันได้ 40 คะแนน 1 คน, ได้ 39 อีก 1 คน, แล้วก็ 37 คะแนน 9 คนครับ (ที่ได้แข่งรอบเพชรยอดมงกุฎ)

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยครับ

$a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab$ จึงได้ว่า ห.ร.ม.$(a+b,a^2-ab+b^2)$=ห.ร.ม.$(a+b,3ab)$
[ผมใช้ความจริงที่ว่า ห.ร.ม.$(a,b)$=ห.ร.ม.$(a,b-am)$ ลองพิสูจน์ดูครับ]
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หารห.ร.ม.$(a+b,3ab)$ลงตัว สมมติว่า $p\not= 3$ เนื่องจาก $p|3ab$
จึงได้ว่า $p$ หาร $a$ หรือ $b$ โดยไม่เสียนัยให้ p หาร a แต่ $p|a+b$ ดังนั้น $p|b$ ขัดแย้ง
ดังนั้น ห.ร.ม.$(a+b,3ab)$ = 1 หรือ 3

[banker]

ขอบคุณครับ เดี๋ยวจะค่อยๆไปทำความเข้าใจ