พิสูจน์ฟังก์ชัน 1-1

[ครูนะ]

ให้ S เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนจำนวนจริง

ให้ A เป็นเซตบนจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับเซตว่าง

กำหนดเซตของชั้นสมมูลทั้งหมดของ A สัญลักษณ์ คือ A/S

กำหนดฟังก์ชัน f:A/S ไปยัง A/S

แล้วพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

รบกวนผู้รู้ช่วยแนะแนวทางด้วยครับ ผมติดพิสูจน์ไม่ออกครับ ไม่เคยเจอแบบนี้ ปกติเจอแบบธรรมดา

[nooonuii]

$f$ นิยามยังไงครับ

[ครูนะ]

แบบว่าส่งสมาชิกในชั้นสมมูลหนึ่งไปยังสมาชิกในอีกชั้นสมมูลหนึ่ง

เช่น ให้ A/S = {Ea, Eb, Ec}

Ea, Eb, Ec คือ ชั้นของความสัมพันธ์สมมูล

ผมเข้าใจแบบนี้ ซึ่งผมไม่รู้ว่าผมเข้าใจผิดไปหรือเปล่าครับ

คุณ NOOONUII เคยเจอโจทย์อะไรแบบนี้ไหมครับ

เช่น กำหนด f:A/R ไป A/S โดยให้ S และ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบน จำนวนจริง

และ S เป็นสับเซตของ R ถ้า A อยู่บน S และ R โดยที่ A ไม่เท่ากับเซตว่าง

โจทย์ทำนองนี้หาอ่านได้ที่ไหนครับ พอจะมีหนังสือแนะนำไหมครับ ผมจะได้ไปซื้อ (คงเป็น Text ต่างประเทศ)

[nooonuii]

หมายความว่านิยาม $f([a]_R)=[a]_S$ แบบนี้ใช่มั้ยครับ

ถ้าแบบนี้มันก็ไม่ $1-1$

ผมยังงงอยู่ว่า $f$ นิยามยังไงครับ

ปกติเนื้อหาส่วนนี้มีอยู่ในวิชาพิสูจน์เบื้องต้นเท่านั้นครับ

ผมไม่เคยเห็นที่ไหนเปิดสอนเป็นเรื่องเป็นราว อาจจะเป็นเพราะว่าเนื้อหามันน้อยเกินไป

ส่วนใหญ่ก็รวมอยู่ในวิชา หลักคณิตศาสตร์ ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับ เซต ตรรกศาสตร์ ความสัมพันธ์ และ ฟังก์ชัน

ลองหาหนังสือ หลักคณิตศาสตร์ ของ ผศ ดร พัฒนี อุดมกะวานิช มาอ่านดูครับ

[ครูนะ]

คือนิยาม มันกำหนดให้ S = R

f([a]S)=[a]S

ถ้ายังนี้เป็นฟังก์ชัน 1-1 ต้องพิสูจน์ยังไงครับ รบกวนอีกทีครับ

ขอบคุณมากครับสำหรับหนังสือผมจะไปหาซื้อดูครับ

[nooonuii]

ถ้าแบบนี้มันก็ฟังก์ชันเอกลักษณ์นี่ครับ

ถ้าจะให้พิสูจน์ก็ สมมติ $f([a])=f([b])$

ดังนั้น $[a]=[b]$ จบแล้วครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ

เป็นข้อสอบครับ ผมลองไล่ข้อที่ทำไม่ได้ ไล่ไปได้บางส่วนแล้วครับ

ข้อนี้มันมีข้อย่อยหลายข้อ แต่นี่เป็นหนึ่งในข้อย่อย ถ้ามันง่ายขนาดนี้ ผมนี่โง่มากๆ

เพราะอ่านหนังสือเล่มอื่นไม่มีเลยงง คิดว่าเป็นฟังก์ชันจำกัดเขต เข้าใจผิดไปเลย

ตอนสัมภาษณ์ไม่ได้เตรียมตัวไปครับ แบบว่าไปแบบหัวโล่งๆ