หาค่าลิมิต

[owlpenguin]

$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}=1$ หรือไม่ครับ ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วยครับ

[gnopy]

ผมลอง take ln ดูแล้วจัดรูปจะได้ $\frac{1}{x} lnx$ จะเห็นว่า lim$\frac{1}{x}$ when x close to $\infty$ = 0 และ lim(lnx) when x close to $\infty$ = $\infty $ แล้วก็ทำต่อเองนะครับ สุดท้ายจะได้
ln($\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$)=0
so $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$=$e^0 $= 1
นี่เป็นวิธีการพิสูจน์เพียงคร่าวๆและไม่ถูกต้องตามหลักมากนัก เพราะผมก็ลืมทฤษฏีบท ไปบ้างแล้วขี้เกียจรื้อมา รูปแบบที่ผมแปลงมันจะอยู่ในรูปของ 0*$\infty $

[M@gpie]

โดยความต่อเนื่องของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้ว่า
\[ \lim_{x\rightarrow \infty} x^{1/x} = \lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{\ln x}{x} } = e^{{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x}} } \]

โดยกฎของโลปิตาลจะได้ว่า ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x}} = 0 $

ดังนั้น \[ \lim_{x\rightarrow \infty} x^{1/x}=e^{0}=1\]

[owlpenguin]

ถ้าผมเปลี่ยนจาก $\frac{1}{x}$ เป็น $\frac{1}{x-k}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $k$ จะยังคงใช้วิธีเดิมได้ไหมครับ?
อีกคำถามครับ
$\lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{1}{x-1}}=1$ หรือไม่ครับ

[M@gpie]

ไม่ได้ครับ คราวนี้ได้ $e$ แทน

[owlpenguin]

โทษทีครับ.. พิมพ์ผิด...
อันที่สองนี่สามารถแปลงเป็นรูป $lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{x})^x$ ซึ่งเท่ากับ $e$ ใช่ไหมครับ
ขอถามอีกครั้งว่า
$lim_{x\rightarrow\infty} x^{\frac{1}{x-k}}=1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $k$ หรือเปล่าครับ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

โทษทีครับ.. พิมพ์ผิด...
อันที่สองนี่สามารถแปลงเป็นรูป $lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{x})^x$ ซึ่งเท่ากับ $e$ ใช่ไหมครับ
ขอถามอีกครั้งว่า
$lim_{x\rightarrow\infty} x^{\frac{1}{x-k}}=1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $k$ หรือเปล่าครับ

$\lim_{x\rightarrow \infty} x^{1/x-k} = \lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{\ln x}{x-k} } = e^{{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x-k}} } $

โดยกฎของโลปิตาลจะได้ว่า ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x-k}} = 0 $
ดังนั้น $lim_{x\rightarrow\infty} x^{\frac{1}{x-k}}=1$

แต่ถ้า $\lim_{x\rightarrow 1} x^{1/(x-k)}$
กรณี $k\not= 1$ จะได้ e
กรณี $k=1$ จะได้ 1

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

$\lim_{x\rightarrow \infty} x^{1/x-k} = \lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{\ln x}{x-k} } = e^{{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x-k}} } $

โดยกฎของโลปิตาลจะได้ว่า ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x-k}} = 0 $
ดังนั้น $lim_{x\rightarrow\infty} x^{\frac{1}{x-k}}=1$

แต่ถ้า $\lim_{x\rightarrow 1} x^{1/(x-k)}$
กรณี $k\not= 1$ จะได้ 1
กรณี $k=1$ จะได้ e

แก้ไขนิดนึงครับ