ข้อสอบ มอ.วิชาการ

[AK/Pain]

]

ข้อ 6 โจทย์ผิดนะครับ

[กิตติ]

ข้อ18
$\frac{a+b-c}{c}= \frac{a-b+c}{b}= \frac{b+c-a}{a} $

$\frac{a+b}{c}-1= \frac{a+c}{b}-1= \frac{b+c}{a}-1 $

$\frac{a+b}{c}= \frac{a+c}{b}= \frac{b+c}{a} =k$

$\frac{a+b}{c}\times \frac{a+c}{b}\times \frac{b+c}{a} =k^3$

$(a+b)(b+c)(a+c)=k^3(abc)$


$\frac{a+b}{c}= \frac{a+c}{b}= \frac{b+c}{a} =k$ จะได้ว่า
$a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak$
$(a+b)+(a+c)+(b+c)=ck+bk+ak=(a+b+c)k$
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$....เมื่อ $a+b+c\not= 0$
$k=2$
จะได้ว่า$(a+b)(b+c)(a+c)=8abc$

ถ้า$a+b+c=0$...จะได้ค่า $k=-1$
จะได้ว่า$(a+b)(b+c)(a+c)=-abc$

[กิตติ]

ข้อ19....เคยมีคนเอามาถามในบอร์ดแล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

เหลือข้อ 5. ผมลองแจมด้วยนะครับ
จากเอกลักษณ์ $sec^2x-tan^2x=1$ และ $COSEC^2X-COT^X=1$
จะได้ว่า $sec^2(A+B)+cosec^2(A-B)=2$
จัดรูปเป็น$1+tan^2(A+B)+1+cot^2(A-B)=2$
$tan^2(A+B)+cot^2(A-B)=0$
เป็นจริงเมื่อ $tan(A+B)=0 และ cot(A-B)=0$
หรือ $sin(A+B)=0 และ COS(A-B)=0$
จะได้ $A=45^0 กับ B=315^0$
$2sinBcosA=-1$

ในกระืทู้นี้.....ปัญหาตรีโกณมิติอีกแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ11....มีคนเอามาถามในบอร์ดแล้ว รู้สึกว่าคุณgonจะเฉลยแล้วได้เซตว่าง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อหนึ่ง ถ้าผมคิดไม่ผิดพลาด คำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่น่าจะมีนะครับ.

my_solution

Attachment 6372

สำหรับข้อ 1 นั้น เคยมีคนถามไปครั้งหนึ่งแล้วครับ.

ปัญหาตรีโกณมิติอีกแล้วครับ

ปล. มีหนังสือตรีโกณเพื่อชาติในท้องตลาดด้วยหรือเปล่าครับ

ในกระทู้นี้......โจทย์ตรีโกณ 2 ข้อเพื่อชาติ

[กิตติ]

10.$\cos(x+\frac{\pi}{3} )=\frac{1}{2}( \cos x)-\frac{\sqrt{3} }{2} (\sin x)$

$\sin x+\sqrt{3} \cos x=\sec (x+\frac{\pi}{3} )$
$(\sin x+\sqrt{3} \cos x)(\cos(x+\frac{\pi}{3} ))=1$
$(\sin x+\sqrt{3} \cos x)(\cos x-\sqrt{3} \sin x)=2$
$\sqrt{3}(\cos^2 x-\sin^2x)-2\sin x \cos x=2$
$\sqrt{3}(\cos 2x)-\sin 2x =2$
$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos 2x)-\frac{1}{2} (\sin 2x) =1$
$\cos \frac{\pi}{6}(\cos 2x)-\sin \frac{\pi}{6}(\sin 2x)=\cos 2\pi $
$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos 0 =\cos 2\pi$
$\frac{\pi}{6}+2x=2n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$
$\frac{\pi}{12}+x=n\pi$
$x=-\frac{\pi}{12}+n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$


อีกวิธีหนึ่งแปลง
$\sin x+\sqrt{3} \cos x=2\left(\,\frac{1}{2}(\sin x) +\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos x)\right) $

$=2\left(\,\cos \frac{\pi}{3}(\sin x) +\sin \frac{\pi}{3}(\cos x)\right)$

$=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$

$(2\sin(x+\frac{\pi}{3}))(\cos(x+\frac{\pi}{3} ))=1$

$=\sin2(x+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{2} $

$2(x+\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{2}+2n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$

$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+n\pi$

$x=-\frac{\pi}{12}+n\pi$ เมื่อ $n=0,1,2,3,...$

โจทย์จำกัดว่า$\left[\,0,2\pi\right] $

$x=\frac{11\pi}{12},\frac{23\pi}{12} $

[กิตติ]

16.$5\tan A=\tan(A+B)$........... $\frac{\sin(2A+B)}{\sin B} =?$

$\sin(2A+B)=\sin2A \cos B+\cos 2A \sin B$

$=2\sin A \cos A \cos B+(1-2\sin^2A)\sin B$

$2\sin A \cos A \cos B-2\sin^2A\sin B=\sin(2A+B)-\sin B$

$5\frac{\sin A}{\cos A} =\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}=\frac{\sin A \cos B+ \cos A \sin B}{\cos A \cos B-\sin A \sin B} $

$5\sin A\cos A \cos B-5\sin^2 A\sin B =\cos A \sin A \cos B+ \cos^2 A \sin B$

$2\left(\,2\sin A \cos A \cos B-2\sin^2 A\sin B\right) +\sin A\cos A \cos B-\sin^2 A\sin B=\cos A \sin A \cos B+ \cos^2 A \sin B$

$2\sin(2A+B)-2\sin B= \sin B$

$\frac{\sin(2A+B)}{ \sin B}=3 $

ลืมสปส.หน้าพจน์.....คำตอบที่ถูกคือ $\frac{\sin(2A+B)}{ \sin B}=\frac{๓}{๒} $

[AK/Pain]

เอ่อข้อ 10 เอาเฉพาะช่วง [0,2\pi ] นะ
ส่วนข้อ 16 รู้สึกผมจะคิดได้ \frac{3}{2}

[กิตติ]

โทษทีครับ พอดีรีบทำรีบโพสเพราะวันนี้มานั่งอยู่ร้านเกม ที่นนทบุรี เดี๋ยวแก้คำตอบใหม่ครับ
พอดีชั่วโมงเนตมันครบ

[กิตติ]

ข้อ 8.
$\sqrt[3]{3+x}+ \sqrt[3]{3-x}=\sqrt[3]{3} $
ให้ $\sqrt[3]{3+x}=A$
$\sqrt[3]{3-x}=B$
$A^3+B^3=6$
$(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)$
$3=6+3(\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{9-x^2} )$
$(\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{9-x^2} )=-1$
$27-3x^2+1=0$
$3x^2-28=0$
$x=\pm2\sqrt{\frac{7}{3}} \approx \pm 3.05 $
เหลือคำตอบเดียวคือ $x=-2\sqrt{\frac{7}{3}}$

คำตอบมีทั้งบวกและลบครับ เพราะลืมดูไปว่าค่า $x$ ติดในรากที่สาม

[No.Name]

คุณกิตติ เก็บซะหมดเลยครับสุดยอดครับ

จะมาเติมข้อ 18

$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=k$

$(a+b+c)(2-k)=0$

จะได้ $k=2$ ได้คำตอบเป็น 8

และก็จะได้คำตอบที่คุณกิตติตอบครับ

[กิตติ]

ทำเท่าที่ทำได้ครับ ตอนนี้นั่งที่ท่ารถทัวร์ เล่นเนตบุ๊คของแฟนครับ เดี๋ยวใกล้สองทุ่มคงไม่ได้เข้ามาแล้วครับ
ท่านไหนว่าง เชิญโซ้ยต่อครับ ยังมีอีกหลายข้อครับ
จริงๆในHall เขาเขียนว่า
$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= \frac{g}{h}=...=k $
แล้ว
$\frac{a+c+e+g+...}{b+d+f+h+...}=k $
จับเศษบวกกัน จับส่วนบวกันเลยก็ได้ครับ

[lek2554]

ข้อ 16 เป็น IMO 2540 เมื่อก่อนโรงเรียนเตรียมฯ ชอบเอาไปออกข้อสอบ เสนออีกแนวหนึ่งครับ

$ktanA=tan(A+B)$
$k\dfrac{sinA}{cosA} =\dfrac{sin(A+B)}{cos(A+B)} $

$ksinAcos(A+B)=cosAsin(A+B)$

$ksinAcos(A+B)+kcosAsin(A+B)=(k+1)cosAsin(A+B)$

$ksin(2A+B)=(k+1)cosA(sinAcosB+cosAsinB)$

$ksin(2A+B)=(k+1)(sinAcosAcosB+cos^2AsinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(2sinAcosAcosB+2cos^2AsinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin2AcosB+(1+cos2A)sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin2AcosB+cos2AsinB+sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)(sin(2A+B)+sinB)$

$2ksin(2A+B)=(k+1)sin(2A+B)+(k+1)sinB$

$(k-1)sin(2A+B)=(k+1)sinB$

$\dfrac{sin(2A+B)}{sinB}=\dfrac{k+1}{k-1} $

[หยินหยาง]

#6, #12
คุณหมอเริ่มเห็นว่าโจทย์ที่ถามล้วนเป็นโจทย์ที่เคยถามมาก่อน อีกหน่อยกคงไม่ตอบซิ หรือจะเป็นแบบท่าน สว. คือเห็นโจทย์เหมือนฆ่าศึก แต่สมาชิกได้ประโยชน์

ข้อ 16 ผมเสนอวิธีของคนขี้เกียจ

$\frac{\sin(2A+B)}{\sin B} = \frac{\sin((A+B)+A)}{\sin ((A+B)-A)}$

$= \frac{\sin(A+B) \cos A+ \cos (A+B) \sin A}{\sin(A+B) \cos A- \cos (A+B) \sin A}$

$= \frac{\frac{\sin(A+B) \cos A+ \cos (A+B) \sin A}{\cos(A+B) \cos A} }{\frac{\sin(A+B) \cos A- \cos (A+B) \sin A}{\cos(A+B) \cos A} } = \frac{\tan (A+B)+\tan A}{\tan (A+B)-\tan A} = \frac{6\tan A}{4\tan A} = \frac{3}{2} $

[AK/Pain]

คุณหยินหยางคิดเหมือนผมตอนสอบเลย

[กิตติ]

ขอบคุณพี่เล็กกับท่านซือแป๋หยินหยางที่ได้สละเวลาเขียนเทคนิคแก้โจทย์ให้ดูครับ