โจทย์น่าทำ เป็นเกร็ดความรู้ด้วย

[Scylla_Shadow]

ผมทดลองคิดขึ้นเอง คิดว่ามันคงน่าสนุกนะครับ ไม่ง่าย และ ไม่ยากเกินไป

1. อสมการ $(x_1x_2x_3...x_n)^{\frac{1}{n}} \leqslant \frac{x_1+x_2+x_3+..+x_n}{n} $

จากอสมการ จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสามเหลี่ยมที่มีความยาวรอบรูป n หน่วย

และ พื้นที่มากที่สุดนั้นจะเกิดขึ้นเมื่อใด


2. (ข้อนี้ห้ามใช้ อสมการที่เกินหลักสูตร ม.ต้นมากเกินไป ให้ใช้แค่อสมการพื้นฐานมากๆ ย้ำว่าแค่พื้นฐาน)

แล้วค่าต่ำสุดของ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}+\frac{4b}{a}+\frac{9d}{c}+\frac{16e}{f}$

เกิดขึ้นเมื่อ a,b,c,d,e,f มีค่าเท่าใด เมื่อ a,b ไม่เป็นจำนวนบวก

c,d มีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

e,f ไม่มีจำนวนใดเป็นจำนวนลบ

*3. กำหนดสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ = \ 5$ และอสมการ

$\frac{a}{b}-\frac{b}{c} > 0$ , $\frac{b}{c}-\frac{c}{d} < 0$

$\frac{c}{d}-\frac{d}{a} > 0$ , $\frac{d}{a}-\frac{a}{b} < 0$

แล้ว จงหาผลรวมค่าของ $(\frac{(ad+bc)(ab+cd)}{abcd})^2$ ที่เป็นไปได้ทุกกรณี เมื่อ $\frac{ad+bc}{bd}$ เป็นจำนวนเต็มบวก*

แถม. จำนวน k หลักที่ทุกหลักเป็นเลขเดียวกันสามารถหารลงตัวด้วย 27 , 81 , 243 , 729 ลงตัว

แล้วค่า k ที่น้อยที่สุดเป็นอันดับ 3 คือเท่าใด

โจทย์ทุกข้อเช็คแล้วนะครับ โจทย์มีคำตอบ และโจทย์ไม่ผิด

หมายเหตุ: * เนื่องจากโจทย์มีข้อผิดพลาด ทำให้คำตอบมีเป็นอนันต์ดังนั้น จึงขอสรุปว่า ข้อนี้ไม่สามารถหาค่าตามที่โจทย์สั่งได้ เนื่องจากค่าที่โจทย์สั่งมีเป็นอนันต์

[Platootod]

(x_1x_2x_3...x_n)
หมายความว่าไงคับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 1 .ครับ เกิดเมื่อเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
มีความยาวด้านละ n/3 หน่วย
พื้นที่มากที่สุด คือ 3^0.5(n/3)^2/4 ตารางหน่วยครับ

ข้อ 2 ตอบ 9 ครับ

ข้อ3. ครับ a=2 b=1 c=2 d=1 กรณีแรกครับ
และ a=-2 b=-1 c=-2 d=-1 กรณีที่ 2ครับ
ตอบ 32 ไหมครับ

[banker]

มารอดูดความรู้

[Scylla_Shadow]

ตอบคำถามคุณ platootod หมายถึง $x_1คูณx_2คูณx_3...คูณx_n$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ข้อ 1 .ครับ เกิดเมื่อเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
มีความยาวด้านละ n/3 หน่วย
พื้นที่มากที่สุด คือ 3^0.5(n/3)^2/4 ตารางหน่วยครับ

ข้อ 2 ตอบ 9 ครับ

ข้อ3. ครับ a=2 b=1 c=2 d=1 กรณีแรกครับ
และ a=-2 b=-1 c=-2 d=-1 กรณีที่ 2ครับ
ตอบ 32 ไหมครับ

ข้อแรก ถูกครับ แต่คำตอบทำให้เป็นรูปอย่างง่ายก็ดีนะครับ

ข้อสอง ไม่ถูกครับ

ข้อ 3. ไม่ถูกครับ

ปล. คำตอบข้อแรกคือ $\frac{n^2}{12\sqrt{3}}$

[SiR ZigZag NeaRton]

ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยครับ ผมงงมากมาย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 2 คิดเร็วไปครับ น่าจะตอบ 4-6+8 = 6 นะครับ
ผมลืมอ่านเงื่อนไขไป ขอโทษด้วยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มารอดูดความรู้

ผมมารอตั้งนานแล้วเหมือนกัน แต่ดูดความรู้ไม่ได้สักที นึกว่าง่ายเหมือนดูดน้ำ ยังไงก็ช่วยสอนวิธีดูดความรู้กันบ้างนะครับ

[Let it be]

ข้อ 3 โจทย์น่าจะผิดนะขอรับ ลองเช็กดูครับ ผิดที่ได้ว่ามีจำนวนไม่จำกัด

เช่น ในกรณีที่ $\frac{a}{b}=4.5,\frac{b}{c}=-0.5+\sqrt{297}/54,\frac{c}{d}=1.5,\frac{d}{a}=-0.5-\sqrt{297}/54$
ได้ว่าผลลัพธ์ในกรณีนี้คือ $((6)(-1))^2 = 36$

หรือ $\frac{a}{b}=5.5,\frac{b}{c}=-1+\sqrt{957}/33,\frac{c}{d}=1.5,\frac{d}{a}=-1-\sqrt{957}/33$
ได้ว่าผลลัพธ์ในกรณีนี้คือ $((7)(-2))^2 = 196$

เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ คำตอบคือ $((a)(5-a))^2$ เมื่อ a มีค่าตั้งแต่ 6 เป็นต้นไป

อีกอันคือ $\frac{a}{b}=2,\frac{b}{c}=0.5,\frac{c}{d}=2,\frac{d}{a}=0.5$ ได้ค่านั้นคือ 16

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมมารอตั้งนานแล้วเหมือนกัน แต่ดูดความรู้ไม่ได้สักที นึกว่าง่ายเหมือนดูดน้ำ ยังไงก็ช่วยสอนวิธีดูดความรู้กันบ้างนะครับ

ผมว่าความรู้คงดูดกันยากนะครับ เพราะเป็นนามธรรม(มีแต่ชื่อ) ไม่รู้ว่าว่าอยู่ตรงไหนเลยดูดไม่ถูกครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ข้อ 2 คิดเร็วไปครับ น่าจะตอบ 4-6+8 = 6 นะครับ
ผมลืมอ่านเงื่อนไขไป ขอโทษด้วยครับ

น่าจะตอบ 4-6+0 = -2 ครับ, ลองดูโจทย์ใหม่อีกครั้งนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

2. ค่าต่ำสุดของ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}+\frac{4b}{a}+\frac{9d}{c}+\frac{16e}{f}$

เกิดขึ้นเมื่อ a,b,c,d,e,f มีค่าเท่าใด เมื่อ a,b ไม่เป็นจำนวนบวก

c,d มีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

e,f ไม่มีจำนวนใดเป็นจำนวนลบ

เพราะชุดสุดท้ายเป็น $\frac{e}{f}+\frac{16e}{f}= \frac{17e}{f} \geqslant 0 $ ตามเงื่อนไขครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

...
3. กำหนดสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ = \ 5$ และอสมการ

$\frac{a}{b}-\frac{b}{c} > 0$ , $\frac{b}{c}-\frac{c}{d} < 0$

$\frac{c}{d}-\frac{d}{a} > 0$ , $\frac{d}{a}-\frac{a}{b} < 0$

แล้ว จงหาผลรวมค่าของ $(\frac{(ad+bc)(ab+cd)}{abcd})^2$ ที่เป็นไปได้ทุกกรณี เมื่อ $\frac{ad+bc}{bd}$ เป็นจำนวนเต็มบวก
...โจทย์ทุกข้อเช็คแล้วนะครับ โจทย์มีคำตอบ และโจทย์ไม่ผิด

จาก อสมการจะได้ว่า $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} > \frac{b}{c}+\frac{d}{a}$

และก้อนสมการด้านหลังสุดจะได้ว่า $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ เป็นจำนวนเต็ม

จากสมการด้านหน้านะครับ จะได้ค่าของ $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ 2 ค่าด้วยกันคือ 2 , 1

โดย $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ จะเป็น 2 เมื่อ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ = 3

และ $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ จะเป็น 1 เมื่อ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ = 4

และก้อนที่โจทย์ถามก็คือ $(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})(\frac{b}{c}+\frac{d}{a})$ ทั้งหมดยกกำลังสอง

ซึ่งมีค่าอยู่ 2 ค่าคือ 36 และ 16 ผลรวมคือ 52

[Let it be]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

จาก อสมการจะได้ว่า $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} > \frac{b}{c}+\frac{d}{a}$

และก้อนสมการด้านหลังสุดจะได้ว่า $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ เป็นจำนวนเต็ม

จากสมการด้านหน้านะครับ จะได้ค่าของ $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ 2 ค่าด้วยกันคือ 2 , 1

โดย $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ จะเป็น 2 เมื่อ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ = 3

และ $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}$ จะเป็น 1 เมื่อ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ = 4

และก้อนที่โจทย์ถามก็คือ $(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})(\frac{b}{c}+\frac{d}{a})$ ทั้งหมดยกกำลังสอง

ซึ่งมีค่าอยู่ 2 ค่าคือ 36 และ 16 ผลรวมคือ 52

เอ่อ ดูตัวอย่างค้านท์ของผมก่อนดิครับ ใน #9

อีกอย่างที่ผมจะบอก $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=3$ กับ $\frac{b}{c}+\frac{d}{a}=2$ ไม่มีคำตอบนะครับ ดังนั้น ตัด 36 ทิ้งไปได้

[Scylla_Shadow]

อ๋อครับ ต้องขออภัยจริงๆครับ ผมก็กำลังงๆกับตัวเองอยู่ครับ

วันนี้ไปพบครู ครูก็ค้านมาครับ ดังนั้นข้อนี้ ผมขอเสนอคำตอบว่า ไม่สามารถหาค่าได้

และขอขอบคุณคุณ let it be มากๆครับ

[Let it be]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

อ๋อครับ ต้องขออภัยจริงๆครับ ผมก็กำลังงๆกับตัวเองอยู่ครับ

วันนี้ไปพบครู ครูก็ค้านมาครับ ดังนั้นข้อนี้ ผมขอเสนอคำตอบว่า ไม่สามารถหาค่าได้

และขอขอบคุณคุณ let it be มากๆครับ

ไม่เป็นไรครับ ที่จริงโจทย์ข้อนี้ก็น่าสนใจครับ ถ้าปรับแต่งนิดหน่อยก็อาจเป็นโจทย์ถูกได้ครับ
(เพราะมันหาคำตอบได้ แต่แค่ไม่จำกัดเท่านั้น) ลองไปดัดแปลงดูครับ

น่าจะเปลี่ยนโจทย์เป็น มีค่าอะไรบ้าง ตอบเป็นรูปทั่วไป อะไรประมาณนี้ครับ
(รูปทั่วไปของ $(\frac{(ad+bc)(ab+cd)}{abcd})^2$ ก็พอครับ)