Supremum proof

[M@gpie]

รบกวนตรวจการพิสูจน์ของผมหน่อยครับ แหะๆๆ ว่าสรุปแบบนี้ใช้ได้ไหม

จงพิสูจน์ว่า สำหรับ\( a >0 \; \; \; \sup \{ a+f(x) : x \in X\} = a+\sup \{ f(x) : x \in X \} \)
$(i)$ให้ $u = \sup \{ f(x) : x\in X \} \rightarrow f(x) \leq u, \forall x \in X$
จะได้ว่า $ a+f(x) \leq a+u $ นั่นคือ $a+u$ เป็น upperbound ของ $\{ a+f(x) : x\in X\}$
ดังนั้น $\sup \{ a+f(x) : x\in X \} \leq a+\sup \{ f(x) : x\in X\} ...(*)$

$(ii)$ ให้ v เป็น upperbound ของเซต $ \{ a+f(x) : x\in X \} \rightarrow a+f(x) \leq v$
จะได้ว่า $f(x) \leq v - a $ ดังนั้น $v-a$ เป็น upperbound ของ $\{ f(x) : x\in X \}$
ดังนั้น $ \sup \{ f(x) : x \in X \} \leq \leq v - a \rightarrow a+\sup \{ f(x) : x \in X \} \leq v$
เนื่องจาก v เป็น upperbound ของเซต $ \{ a+f(x) : x\in X \}$ จึงสามารถให้ $v=\sup \{ a+f(x) : x \in X \}$ ได้ จึงได้ว่า $a+\sup \{ f(x) : x\in X \} \leq \sup \{ f(x) : x\in X\} ...(**)$

จาก $(*)$ และ $(**)$ จึงสรุปได้ว่า $ \sup \{ a+f(x) : x \in X\} = a+\sup \{ f(x) : x \in X \} $

[nooonuii]

Comments :

1. ข้อความนี้จริงสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ
2. ควรแยกการพิสูจน์กรณี sup$\{ f(x) : x\in X\} = \infty$ ออกมาต่างหากครับ
3. บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองของ (ii) ลืมใส่ for all $x\in X$ ครับ

[M@gpie]

ขอบคุณพี่ noonuii ครับ แต่ว่ากรณีที่ $\sup \{ f(x) : x \in X \} = \infty $ นี่จะแสดงยังไงดีครับ จะมั่วๆว่าเท่ากันก็ดูแปลกๆ

[nooonuii]

Hint : Sup$A = \infty \iff A $ is unbounded above.

[M@gpie]

อ้อ แสดงว่า เราก็อ้างว่า if $ \{ f(x) : x \in X \}$ unbouned then $\{ a+f(x) : x \in X \}$ unbounded too $ แบบนี้ใช้ได้ไหมครับ
แต่เท่าที่อ่านจากโจทย์ ทั่วๆไป จะสนใจกรณีที่ supremum มีค่าจำกัดมากกว่า รึเปล่าครับ

[SOS_math]

ขอแสดงความเห็นบ้างนะ แสดงข้อ (ii) โดยใช้ (i)

จาก (i) เราทราบว่า $\sup \{a+f(x):x\in X\}\le a+\sup \{f(x):x\in X\}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a$ และทุกฟังก์ชัน $f:X\to(-\infty,\infty)$ ต่อไปจะแสดง (ii) นั่นคือ
$$\sup\{a+f(x):x\in X\}\ge a+\sup\{f(x):x\in X\}$$
กรณีแรกถ้า $\sup\{a+f(x):x\in X\}=\infty$ ข้อความที่ต้องการก็จริงทันที ต่อไปสมมติว่า
$\sup\{a+f(x):x\in X\}<\infty$ ให้ $g(x)=a+f(x)$
จะได้ว่า
$$\sup\{f(x):x\in X\}= \sup\{(-a)+g(x):x\in X\}$$
และ
$$(-a)+\sup\{g(x):x\in X\}= (-a)+\sup\{a+f(x):x\in X\}$$
โดย (i) เราทราบว่า
$$\sup\{(-a)+g(x):x\in X\}\le (-a)+\sup\{g(x):x\in X\}$$
ดังนั้น
$$\sup\{f(x):x\in X\}\le (-a)+\sup\{a+f(x):x\in X\}$$
หรือข้อความ (ii) นั่นเอง

ลองดูว่านะครับว่า $\sup\{a+f(x):x\in X\}<\infty$ ใช้ตรงไหน ผมยังดูไม่ละเอียด มีนัดพบหมอเช้านี้ ขอโทษทีครับ