math analysis

[kanji]

ช่วยพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ให้หน่อยนะครับ

ถ้า a,b,c,d > 0 แล้ว

1/[(1/a)+(1/b)] + 1/[(1/c)+(1/d)] ฃ 1/[1/(a+c) + 1/(b+d)]

เอ๊ะ เหมือนเป็นการบ้านที่เรียน math analysis ถ้าจำไม่ผิดก็เริ่มจาก (ab-cd)^2>=0

[gon]

อืม.... ถ้าเป็นการบ้านอย่างที่ คห. ข้างบนว่ามาจริง ๆ ขอให้ลองทำสุดชีวิตก่อนนะครับ. ไม่งั้นคงไม่เกิดประโยชน์แน่ ๆ

วิธีต่อไปนี้ เป็นวิธีที่ไม่งามงดนัก มากด้วยพลัง เป็นไปได้ว่าจะมีวิธีที่สวยงามกว่านี้

จากโจทย์จัดรูปจะได้ว่า
(a + c)(b + d)/(a + b + c + d) ณ ab/(a + b) + cd/(c + d)
ซ(a + c)(b + d)(a + b)(c + d) ณ (a + b + c + d)(abc + abd + acd + bcd)

ซึ่งเมื่อกระจายจะได้เป็น a²d² - 2abcd + b²c² ณ 0 ซึ่งเป็นจริง เพราะ (ad - bc)² ณ 0

[gon]

ลองเอานี่ไปเล่นต่อนะครับ.

สำหรับจำนวนจริงบวก a, b, c จงแสดงว่า

1/[ 1/(a + 1) + 1/(b + 1) + 1/(c + 1) ] ณ 1/3 + 1/( 1/a + 1/b + 1/c )