Congruence

[Biwww]

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า (p-1)! +1 = $p^k$ สำหรับจำนวนเต็ม k บางตัว ก็ต่อเมื่อ p=2,3หรือ5

[RoSe-JoKer]

Hint
$(p-1)|(p-2)!$

[Biwww]

ช่วยแสดงวิธีคิดหน่อยครับ

[RoSe-JoKer]

สมมุติว่ามี $p\in prime$ ที่ $p>5$ ที่
$(p-1)!+1=p^k$ for some $k\in N$
ก็ต่อเมื่อ
$(p-2)!=p^{k-1}+p^{k-2}+...+p+1$
จาก $p-1|(p-2)!$ (เนื่องจาก $2|p-1$ และ $2(p-2)>p-1$)
แสดงว่า $p-1|p^{k-1}+p^{k-2}+...+p+1$
แต่เห็นได้ว่า
$p^{k-1}+p^{k-2}+...+p+1= k (mod p-1)$
แสดงว่า$ p-1|k $ส่งผลให้เราได้ว่า$ k\geq p-1$
ทีนี้ก็เหลือแค่พิสูจน์ว่า
เมื่อ $k\geq p-1$ แล้ว
$p^k\geq (p-1)!+1$ สำหรับ$ p>5 $
เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$p^{p-1}\geq (p-1)!+1$ (ผมคิดว่าน่าจะสรุปตรงนี้เลยก็ได้เพราะมันชัดเจนมากๆ แต่ก็...)
จาก
$p^{p-2}(p-1)+1\geq (p-1)!+1$ เราต้องพิสูจน์ว่า
$p^{p-1}\geq p^{p-2}(p-1)+1=p^{p-1}-p+1$
$p>1 $เป็นจริง จบดังนั้น ไม่มี$ p>5 $ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข