ช่วยให้กระจ่างที่เถอะ : Complex Analysis

[moji]

Consider the function
$k(z)=\frac{1-cos z}{z_2} $
we have $cos z= 1-\frac{z^2}{2}+ {z^3}{g_3(z)}$
where the function $g_3(z)$ is entire. It follows that for $z\not= 0$,we have
$\frac{1-cos z}{z^2}=\frac{1}{2}-{zg_3(z)}$,
and so $k(z)\rightarrow 1/2$ as $z\rightarrow 0$. Note that the function $k(z)$ is analytic at any $z\not= 0$.If we define $k(z)=1/2$,then function k is continuous at 0.

อยากทราบว่า $g_3(z)$มันมายังไง และจะทราบได้ไงว่าต้อง diff เท่าไรถึงจะanalytic งงค่ะ

[nooonuii]

มาจากการกระจายอนุกรมของ cosine ครับ

$$\cos{z}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots=1-\frac{z^2}{2!}+z^3g_3(z)$$

เมื่อ $g_3(z)=\dfrac{z}{4!}-\dfrac{z^3}{6!}+\cdot$

ฟังก์ชันจะ analytic ต้องมีอนุพันธ์ทุกอันดับ และต้องมีเงื่อนไขบางอย่างเพิ่มเติมด้วยลองไปค้นหนังสือเรียนดูครับ
หรือไม่ก็ตามนิยามครับคือเขียนเป็น power series ได้