โจทย์ในMy Mathsเล่มล่าสุด

[กิตติ]

พอดี เป็นโจทย์ในส่วนท้ายเล่ม พอดีผมไม่ค่อยมีความรู้พวกทฤษฎีจำนวนแบบที่เขาสอนกันในค่าย ไม่รู้ว่าจะพิสูจน์แบบง่ายๆได้ไหม

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จงพิสูจน์ว่าไม่มีค่า $n$ ที่ทำให้ $3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ลงตัว

วิธีที่1.จากที่ว่า ไม่มีจำนวนคี่ใดๆที่หารด้วยจำนวนคู่แล้วลงตัว
ก็พิสูจน์ว่า สำหรับทุกค่า $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $3^{n+1}$ เป็นจำนวนคี่ ก็น่าจะเอาไปใช้สรุปได้
$3^{n+1}=\overbrace{3\bullet 3\bullet ....\bullet 3}^{n+1 ตัว} $ เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นค่าของ $3^{n+1}$ ก็เป็นจำนวนคี่ เพราะจำนวนคี่คูณกันก็ได้จำนวนคี่
หรือจะใช้เรื่องทวินามกระจายก็ได้ $3^{n+1}=(2+1)^{n+1}$

วิธีที่2.เนื่่องจาก $8=2^3$ ดังนั้น $3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ $3^{n+1}$ หารด้วย $2$ ลงตัว แต่เรากระจายทวินามแบบวิธีที่ 1 จะได้ว่า $3^{n+1}$ หารด้วย $2$ ไม่ลงตัว ดังนั้นเราจึงสรุปต่อว่า $3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ไม่ลงตัว สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ

ทำแบบนี้จะได้คะแนนไหม และอยากเห็นการพิสูจน์แบบทฤษฎีจำนวน
มารบกวนช่วงที่คนกำลังยุ่งๆกับเทศกาลปีใหม่กัน ไม่ว่ากันเนอะ

[khlongez]

เราว่าวิธีแรกก็โอเคแล้วนะ

แต่วิธีที่สองมีการให้เหตุผลที่ผิดตรงที่บอกว่า ""$3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ $3^{n+1}$ หารด้วย $2$ ลงตัว""

ความจริงแล้วต้องบอกว่า ถ้า $3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ลงตัว แล้ว $3^{n+1}$ หารด้วย $2$ ลงตัว ถึงจะถูก

(ซึ่งเราได้ว่า $3^{n+1}$ หารด้วย $2$ ไม่ลงตัว ดังนั้น$3^{n+1}$ หารด้วย $8$ ไม่ลงตัว )

[Euler-Fermat]

ถ้า n เป็นเลขคี่
n = 2k+1,สำหรับบางจำนวนเต็มบวก k
$3^{n+1} = 3^{2k+2}$
$3^{2k+2} = 9^{k+1} \equiv 1 mod 8$
ถ้า n เป้นเลขคู่
n =2k,สำหรับบางจำนวนเต็มบวก k
$3^{n+1} = 3^{2k+2}$
$3^{2k+1} = 3*3^{2k} = 3*9^k \equiv 3 mod 8$

ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $3^{n+1}$ หารด้วย 8 ลงตัว