ข้อสอบคณิตช้างเผือก

[Apirak PKW]

พึ่งสอบมาหมาดๆวันที่ 23 พ.ย. 56 วันนี้เองครับ
มาช่วยเฉลยหน่อยครับ
ขอคาระวะทุกท่านครับ เเละ ขออภัยสำหรับรูปครับ

[artty60]

ไม่ยากนะครับดูตัวอย่าง4ข้อ

ข้อ122. 100,98,102,94,110,...

รูปทั่วไป คือ $a_{n+1}=a_n+(-2)^n$

ข้อ124. $\frac{x}{13}-\frac{y}{5}=\frac{4}{65}$ หา $xy-(x+y)=?$

$\frac{6}{13}-\frac{2}{5}=\frac{4}{65}$

$x=6;y=2\rightarrow (6\times 2)-(6+2)=4$

ข้อ125. $BC^2=64\rightarrow BC=8$

$\frac{1}{2} (EC)(CF)=50$

จากสามเหลี่ยมคล้าย $EC=CF$ ดังนั้น$CF=10$

เพราะฉะนั้นสามเหลี่ยม BCF มีเส้นรอบรูป =6+8+10=24 หน่วย

ข้อ159. ให้แยกตัวประกอบในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะ จะเห็นว่ามี 4 ตัว



เห็นเขียนว่าจำนวนเฉพาะบวก แล้วมีจำนวนเฉพาะลบด้วยหรือ?

[artty60]

ข้อ132. แก้สมการได้$(×,y)=(5,-2);(-1,-20)$

ดังนั้น $a+b+c+d=5-2-1-20=-17$

ข้อ134. ได้$x:y:z=6:4:3$

$\therefore x=\frac{9}{2};y=3;z=\frac{9}{4}$

ดังนั้นคำตอบคือ 3

[Eddie]

อยากทราบวิธีทำข้อ 139 ครับ ท่่านใดทำเป็น ช่วยแนะนำด้วยครับ

[Puriwatt]

พท. ABC = 16 ตารางหน่วย
พท. AMC = 4 ตารางหน่วย --> พท. BMC = 16-4 =12 ตารางหน่วย
ดังนั้น AM : BM = 4 : 12 = 1 : 3
พท. BNC = 4 ตารางหน่วย --> พท. BNA = 16-4 = 12 ตารางหน่วย
ดังนั้น AN : CN = 12 : 4 = 3 : 1
พท. AMN = พท. AMC×3/4 = 4×3/4 = 3 ตารางหน่วย ตอบ 3.

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

พท. ABC = 16 ตารางหน่วย
พท. AMC = 4 ตารางหน่วย --> พท. BMC = 16-4 =12 ตารางหน่วย
ดังนั้น AM : BM = 4 : 12 = 1 : 3
พท. BNC = 4 ตารางหน่วย --> พท. BNA = 16-4 = 12 ตารางหน่วย
ดังนั้น AN : CN = 12 : 4 = 3 : 1
พท. AMN = พท. AMC×3/4 = 4×3/4 = 3 ตารางหน่วย ตอบ 3.

รูปนี้ไม่ใช่สามเหลี่ยมคล้ายใช่ไหมครับ
ก็เลยงงๆ ว่าใช้อัตราส่วนอย่างไร
และพิจารณาส่วนสูง และฐานอย่างไรครับ
รบกวนอธิบาย หรือวาดรูปประกอบให้หน่อยได้ไหมครับ
ขอบคุณมากครับ

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cfcadet

รูปนี้ไม่ใช่สามเหลี่ยมคล้ายใช่ไหมครับ
ก็เลยงงๆ ว่าใช้อัตราส่วนอย่างไร
และพิจารณาส่วนสูง และฐานอย่างไรครับ
รบกวนอธิบาย หรือวาดรูปประกอบให้หน่อยได้ไหมครับ
ขอบคุณมากครับ

ข้อนี้ผมลองทำ วาดรูป และใช้ความเข้าใจเรื่องสามเหลี่ยมก็เลยทำให้สามารถทำได้แล้วครับ
เข้าใจเรียบร้อยแล้วครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cfcadet

ข้อนี้ผมลองทำ วาดรูป และใช้ความเข้าใจเรื่องสามเหลี่ยมก็เลยทำให้สามารถทำได้แล้วครับ
เข้าใจเรียบร้อยแล้วครับ

เก่งมากครับ ที่ข้อนี้สามารถทำความเข้าใจด้วยตนเองได้

หลักการคิดคือ สามเหลี่ยมที่ฐานอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมีจุดยอดเดียวกัน
จะมีอัตรส่วนพื้นที่เท่ากับอัตราส่วนของความยาวฐาน (เพราะมีความสูงเท่ากัน)
** และกรณีที่จุดยอดอยู่บนเส้นตรงที่ขนานกับฐาน ยังใช้หลักนี้ได้ครับ **

วิธีคิดแบบนี้จะช่วยให้แก้ปัญหาโจทย์แนวพื้นที่สามเหลี่ยมได้ง่ายขึ้นครับ

[cfcadet]

รบกวนข้อ 135 ได้ไหมครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cfcadet

รบกวนข้อ 135 ได้ไหมครับ

มุม DCE + มุม ECB = มุม ECB + มุม BCF = 90°
ดังนั้น มุม DCE = มุม BCF
ความยาวด้าน DC = BC = 8 หน่วย, และมุม CDE = มุม CBF =90°
จะได้ว่าสามเหลี่ยม CDE กับ CBF เท่ากันทุกประการแบบ มุม-ด้าน-มุม
ดังนั้นความยาวด้าน EC = CF = b หน่วย
พื้นที่สามเหลี่ยม ECF = 50 =$\frac{1}{2}×b×b$ --> จะได้ค่า b = 10 หน่วย
ดังนั้น BF = $\sqrt{10^2-8^2}$ = 6 หน่วย
ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม BCF = 10+8+6 = 24 หน่วย (ตอบ 4.)

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

มุม DCE + มุม ECB = มุม ECB + มุม BCF = 90°
ดังนั้น มุม DCE = มุม BCF
ความยาวด้าน DC = BC = 8 หน่วย, และมุม CDE = มุม CBF =90°
จะได้ว่าสามเหลี่ยม CDE กับ CBF เท่ากันทุกประการแบบ มุม-ด้าน-มุม
ดังนั้นความยาวด้าน EC = CF = b หน่วย
พื้นที่สามเหลี่ยม ECF = 50 =$\frac{1}{2}×b×b$ --> จะได้ค่า b = 10 หน่วย
ดังนั้น BF = $\sqrt{10^2-8^2}$ = 6 หน่วย
ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม BCF = 10+8+6 = 24 หน่วย (ตอบ 4.)

ข้อ 135 ????

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

มุม DCE + มุม ECB = มุม ECB + มุม BCF = 90°
ดังนั้น มุม DCE = มุม BCF
ความยาวด้าน DC = BC = 8 หน่วย, และมุม CDE = มุม CBF =90°
จะได้ว่าสามเหลี่ยม CDE กับ CBF เท่ากันทุกประการแบบ มุม-ด้าน-มุม
ดังนั้นความยาวด้าน EC = CF = b หน่วย
พื้นที่สามเหลี่ยม ECF = 50 =$\frac{1}{2}×b×b$ --> จะได้ค่า b = 10 หน่วย
ดังนั้น BF = $\sqrt{10^2-8^2}$ = 6 หน่วย
ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม BCF = 10+8+6 = 24 หน่วย (ตอบ 4.)

ข้อนี้คือข้อ 125 ครับ ผมไล่เรียงดูแล้วก็เข้าใจแล้วครับ

แต่ที่ถามไปก็คือข้อ 135 ครับ รบกวนด้วยครับ

[Puriwatt]

ข้อ 135 ตอบ 1. (21)
จากสมการ $r = \dfrac{1}{r}+1$
จัดรูปใหม่ได้ $r - \dfrac{1}{r} = 1$
ยกกำลังสองได้ $r^2 -2+ \dfrac{1}{r^2} = 1$
ดังนั้นได้$r^2 + \dfrac{1}{r^2} = 3$ และ $r + \dfrac{1}{r} = \sqrt{5}$
ทำแบบเดิมได้ $r^4 + \dfrac{1}{r^4} = 9-2 = 7$
จะได้ $r^8 + \dfrac{1}{r^8} = 49-2 = 47$
และจะได้ $r^8 - \dfrac{1}{r^8} = \sqrt{47^2-4} = 21\sqrt{5}$ ---- (1)

จากสมการ $r = \dfrac{1}{r}+1$
จัดรูปได้ $r + \dfrac{1}{r} = 1+\dfrac{2}{r}$
--> $ r^8(r + \dfrac{1}{r}) = r^8(1+\dfrac{2}{r}) = r^8+2r^7$ ----(2)

ดังนั้น $\dfrac {(r^{16}-1)}{(r^8+2r^7)} $
จัดรูปได้เป็น $\dfrac {r^8(r^8-r^{-8})}{r^8(r+ r^{-1})}$ = $\dfrac {(r^8-r^{-8})}{(r+ r^{-1})}$ = 21

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อ 135 ตอบ 1. (21) ถ้ามีเวลาจะลงวิธีทำให้ครับ
$r = \frac{1}{r}+1$ --> $r + \frac{1}{r} = 1+\frac{2}{r}$
--> $ r^8(r + \frac{1}{r}) = r^8(1+\frac{2}{r}) = r^8+2r^7$ -----(1)
ดังนั้น $\frac {(r^16-1)}{(r^8+2r^7)} = \frac {r^8-r^{-8}}{r+ r^{-1}}$ ---(2)
$r - \frac{1}{r} = 1$ --> ได้ $r^2 + \frac{1}{r^2} = 3$ และ $r + \frac{1}{r} = \sqrt{5}$
$r^4 + \frac{1}{r^4} = 7$ --> ได้ $r^8 + \frac{1}{r^8} = 47$ --> ได้
$r^8 - \frac{1}{r^8} = \sqrt{47^2-4} = 21\sqrt{5}$
แทนค่าลงใน (2) ได้ $\frac {(r^16-1)}{(r^8+2r^7)} = \frac {r^8-r^{-8}}{r+ r^{-1}} = 21$

ขอบคุณมากครับ

รบกวนเพิ่มเติมด้วยนะครับ

http://mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20195

[cfcadet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ไม่ยากนะครับดูตัวอย่าง4ข้อ

ข้อ122. 100,98,102,94,110,...

รูปทั่วไป คือ $a_{n+1}=a_n+(-2)^n$

ข้อ124. $\frac{x}{13}-\frac{y}{5}=\frac{4}{65}$ หา $xy-(x+y)=?$

$\frac{6}{13}-\frac{2}{5}=\frac{4}{65}$

$x=6;y=2\rightarrow (6\times 2)-(6+2)=4$

ข้อ125. $BC^2=64\rightarrow BC=8$

$\frac{1}{2} (EC)(CF)=50$

จากสามเหลี่ยมคล้าย $EC=CF$ ดังนั้น$CF=10$

เพราะฉะนั้นสามเหลี่ยม BCF มีเส้นรอบรูป =6+8+10=24 หน่วย

ข้อ159. ให้แยกตัวประกอบในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะ จะเห็นว่ามี 4 ตัว



เห็นเขียนว่าจำนวนเฉพาะบวก แล้วมีจำนวนเฉพาะลบด้วยหรือ?

ค่า x และ y ในข้อ 124 ได้มาอย่างไรครับ (ถ้าไม่ใช่มาจากการสุ่ม)