ข้อสอบ IWYMIC 2012

[math ninja]

http://www.taimc2012.org/en/

[geophysics]

ปีนี้โหดมากๆๆ เด็กไทย ไม่เหรียญทองเลย
ไม่รู้สาเหตุ

[polsk133]

ไต้หวันมีหลายทีมจังครับ
ไทยทำดีที่สุดแล้วครับสู้ๆ

[banker]

Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition 2012

Individual Contest

Time limit: 120 minutes


Instructions:
 Do not turn to the first page until you are told to do so.
 Remember to write down your team name, your name and contestant number in the spaces indicated on the first page.
 The Individual Contest is composed of two sections with a total of 120 points.
 Section A consists of 12 questions in which blanks are to be filled in and only ARABIC NUMERAL answers are required. For problems involving more than one answer, points are given only when ALL answers are correct. Each question is worth 5 points. There is no penalty for a wrong answer.
 Section B consists of 3 problems of a computational nature, and the solutions should include detailed explanations. Each problem is worth 20 points, and partial credit may be awarded.
 You have a total of 120 minutes to complete the competition.
 No calculator, calculating device, watches or electronic devices are allowed.
 Answers must be in pencil or in blue or black ball point pen.
 All papers shall be collected at the end of this test.



Section A.
In this section, there are 12 questions.Fill in the correct answer in the space provided at the end of each question. Each correct answer is worth 5 points.

1. Determine the maximum value of the difference of two positive integers whose sum is 2034 and whose product is a multiple of 2034.
Answer:

2. The diagram below shows a semicircle sitting on top of a square and tangent to two sides of an equilateral triangle whose base coincides with that of the square. If the length of each side of the equilateral triangle is 12 cm, what is the radius of the semicircle, in cm?

3. A four-digit number $ \ \overline{abcd} \ $ is a multiple of 11, with b + c = a and the two-digit number $\overline {bc}$ a square number. Find the number $ \ \overline{abcd} \ $.
Answer:

4. The area of the equilateral triangle ABC is $ \ 8+4\sqrt{3} \ cm^2 \ $. M is the midpoint of BC. The bisector of $ \angle MAB \ $intersects BM at a point N. What is the area of triangle ABN, in $ \ cm^2 \ $?
Answer: ___ cm2

5. There is a 2×6 hole on a wall. It is to be filled in using 1×1 tiles which may be red, white or blue. No two tiles of the same colour may share a common side. Determine the number of all possible ways of filling the hole.
Answer:

6. Let N = $1^9 \times 2^8 \times 3^7 \times 4^6 \times 5^5 \times 6^4 \times 7^3 \times 8^2 \times 9^1 $ .
How many perfect squares divide N?
Answer:

7. How many positive integers not greater than 20112012 use only the digits 0, 1 or 2?


8. The diagram below shows four points A, B, C and D on a circle. E is a point on the extension of BA and AD is the bisector of ∠CAE. F is the point on AC such that DF is perpendicular to AC. If BA = AF = 2 cm, determine the length of AC, in cm.

9. There are 256 different four-digit numbers $ \ \overline{abcd} \ $ where each of a, b, c and d is 1, 2, 3 or 4. For how many of these numbers will ad ? bc be even?
Answer:

10. In a plane, given 24 evenly spaced points on a circle, how many equilateral triangles have at least two vertices among the given points?
Answer:

11. The diagram below shows a circular sector OAB which is one-sixth of a circle, and a circle which is tangent to OA, OBand the arc AB. What fraction of the area of the circular sector OAB is the area of this circle?

12. An 8 × 8 chessboard is hung up on the wall as a target, and three identical darts are thrown in its direction. In how many different ways can each dart hit the center of a different square such that any two of these three squares share at least one common vertex?


Section B.
Answer the following 3 questions, and show your detailed solution in the space provided after each question. Each question is worth 20 points.

[banker]

[math ninja]

ช่วยเฉลยชุดบุคคลให้หน่อย
ข้อ 6 คอบ 2880
ข้อ 7 ตอบ 4756
ใช่เปล่า

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

ช่วยเฉลยชุดบุคคลให้หน่อย
ข้อ 6 คอบ 2880
ข้อ 7 ตอบ 4756
ใช่เปล่า

ไม่ใช่ทั้งสองข้อ

(ข้อ 7 ตอบใกล้เคียงแล้ว... เลขฐาน 3 ของ20112012)

[Euler-Fermat]

ช่วยเฉลย วิธีคิดของ ข้อ 1 บุคคล วิธีทำหน่อยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ช่วยเฉลย วิธีคิดของ ข้อ 1 บุคคล วิธีทำหน่อยครับ

ลองดูครับ.

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองดูครับ.

ไม่ใช่อันนี้ ครับ ข้อ ที่เป็น รูทเยอะๆ แล้วให้หาส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม อ่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ไม่ใช่อันนี้ ครับ ข้อ ที่เป็น รูทเยอะๆ แล้วให้หาส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม อ่ะครับ

ผมยังเขียนเฉลยไม่ถึงข้อนั้นครับ รอสมาชิกท่านอื่นก่อนก็แล้วกัน.

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ผมยังเขียนเฉลยไม่ถึงข้อนั้นครับ รอสมาชิกท่านอื่นก่อนก็แล้วกัน.

ไม่เปนไรครับ ขอบคุณครับ

[artty60]

คิดแบบประมาณเอา

$M^2=2012M$ ส่วนท้ายข้างในเท่ากับ0

$M(M-2012)=0$

$\therefore M=2012$

6. $Let N = 1^9\times 2^8\times 3^7\times 4^6\times 5^5\times 6^4\times 7^3\times 8^2\times 9^1 $ .
How many perfect squares divide N?

$=2^{30}\times 3^{13}\times 5^5\times 7^3$

$=(2^2)^{15}\times 3(3^2)^6\times 5(5^2)^2\times 7(7^2)^1$

พิจารณาเป็น4กลุ่ม คือ $(2^2),(3^2),(5^2),(7^2)$

กรณีมีเพียงกลุ่มเดียว$=15+6+2+1=24$

กรณีมี2กลุ่ม$=15(6+2+1)+6(2+1)+2(1)=135+18+2=155$

กรณีมี3กลุ่ม$=(15\times 6\times 2)+(15\times 2\times 1)+(6\times 2\times 1)=222$

กรณืมี4กลุ่ม$=15\times 6\times 2\times 1=180$

รวม$=581$ รวมกับ $1^2$ อีก 1 เป็น 582

-ไม่แน่ใจครับ-

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

คิดแบบประมาณเอา

$M^2=2012M$ ส่วนท้ายข้างในเท่ากับ0

$M(M-2012)=0$

$\therefore M=2012$

artty60 เล่นอย่างนี้เลยหรือครับ

ตรงสีแดง ถ้าข้างในเป็น 0 คูณกันข้างในก็เป็น 0 ข้างขวามิเป็น 0 หรือครับ

[artty60]

ผมคิดว่าส่วนท้ายคงจะไล่จากท้ายเข้ามาเรื่อยๆ ดังนี้ $\sqrt{2012\sqrt{2013\sqrt{...\sqrt{((2012)^2-(2012)^2)\sqrt{((2012)^2-((2012)^2-1))...\sqrt{(2012)^2} } } } } } $

จะมีพจน์หนึ่งเป็น0น่ะครับ ก็คงตอบ 0 อย่างที่ท่านBanker บอกใช่แล้วครับ

ข้างบนผมดูผิดไม่ใช่ตอบ2012