riemann hypothesis [อ่านเล่นๆ]

[polsk133]

Riemann Hypothesis (หรือสมมติฐานของรีมานน์) ซึ่งถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Bernard Riemann (1826 - 1866) เมื่อปี 1859


เป็นปัญหาอันลือลั่นที่ท้าทายความสามารถของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกมาจนถึงบัดนี้ ความยากและความสำคัญของมันถึงกับทำให้ Clay Mathematics Institute ในสหรัฐอเมริกาประกาศเมื่อปี 2000 ว่าจะมอบเงินรางวัลจำนวน 1 ล้านเหรียญสหรัฐให้แก่ผู้ที่สามารถแก้ปัญหานี้ได้


เรามาดูกันว่าเจ้า Riemann Hypothesis นี่มันว่าอย่างไร


คือรีมานน์เขาได้นิยามฟังก์ชันขึ้นมาอันหนึ่ง เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า Riemann zeta function ซึ่งขอเขียนแทนด้วย f(z)


f(z) มีหน้าตาเป็นยังไงเดี๋ยวค่อยอธิบาย สิ่งที่เราสนใจก็คือ ผลเฉลยของสมการ f(z) = 0 ซึ่งรีมานน์พบว่าจำนวนเต็มลบคู่ทั้งหมด ( คือ -2, -4, -6, . . .) จะเป็นผลเฉลยส่วนหนึ่งของสมการดังกล่าว และเนื่องจากว่าผลเฉลยพวกนี้หาได้ไม่ยากนัก (ในมุมมองของนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ) เราจึงเรียกผลเฉลยพวกแรกนี้ว่า trivial solutions (คือผลเลยที่ชัดแจ้ง หรือผลเลยที่ไม่สำคัญ)


ทีนี้รีมานน์พบว่าสมการ f(z) = 0 มันยังมีผลเฉลยอื่นนอกเหนือไปจากจำนวนเต็มลบคู่อีก เลยเรียกผลเฉลยพวกหลังนี้ว่า nontrivial solutions (คือผลเฉลยที่สำคัญ) แต่ปัญหามีอยู่ว่า รีมานน์เขาหาผลเลยที่สำคัญพวกนี้ได้บางตัวเท่านั้น ในขณะที่อาจจะมีผลเฉลยที่ยังหาไม่เจออีกบานเบอะ อย่างไรก็ตาม เขาสังเกตว่าผลเฉลยสำคัญเท่าที่เขาหาเจอนี้มีสมบัติร่วมกันอย่างหนึ่ง

คือ ล้วนเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริง (real part) เท่ากับ $\frac{1}{2}$ ทั้งสิ้น อาศัยวิสัยทัศน์อันล้ำลึก รีมานน์ก็ได้ฟันธงลงไปว่า ผลเฉลยที่สำคัญของสมการ f(z) = 0 ทุกตัว น่าจะมีส่วนจริงเท่ากับ $\frac{1}{2}$ เหมือนกันหมด [กล่าวคือล้วนแต่อยู่ในรูป z = 1/2 + bi เท่านั้น (b คือจำนวนจริง, i คือรากที่สองของ -1) นี่แหละครับ]

และเนื่องจากรีมานน์เองก็ไม่สามารถพิสูจน์ข้อสมมุติอันนี้ของเขาได้ จึงเป็นปัญหามาจนถึงทุกวันนี้ว่า ตกลงเจ้า Riemann Hypothesis นี่มันจริงหรือเปล่า ถ้าจริงจะพิสูจน์ยังไง หรือถ้าไม่จริงจะหาตัวอย่างไหนมาค้าน ???????

ต่อไปจะอธิบายหน้าตาของ Riemann zeta fucntion f(z) ว่าเป็นยังไง กับตอบข้อสงสัยที่ว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะอย่างไรครับ

ก่อนที่จะมี Riemann zeta function ขึ้นมา ได้มีฟังก์ชันอันหนึ่งที่คล้ายๆกันอยู่ก่อนแล้ว ได้แก่ Euler zeta function ซึ่งขอเขียนแทนด้วย g(k) นะครับ g(k) นี้นิยามสำหรับจำนวนนับ k ที่มากกว่า 1 โดยที่

$$g(k)=1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+...$$

ซึ่งลำดับนี้จะลู่เข้าเมื่อ$ k >1 $ และมีข้อสังเกตที่สำคัญอันหนึ่งคือ

$$g(k)=[1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{4^k}+...][1+\frac{1}{3^k}+\frac{1}{9^k}+...][1+\frac{1}{5^k}+\frac{1}{25^k}+...]...$$

เนื่องจากอนุกรมในแต่ละวงเล็บข้างบนเป็นอนุกรมเราขาคณิต เมื่อใช้สูตรผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตที่เราเรียนตอน ม. ปลายก็จะได้ว่า

$$g(k)=[\frac{2^k}{2^k-1}][\frac{3^k}{3^k-1}][\frac{5^k}{5^k-1}]...$$

จะเห็นว่าทางขวามือของสมการหลัง เราใช้จำนวนเฉพาะทุกตัวเลย ไล่ไปตั้งแต่ 2, 3, 5, . . . และใช้ตัวละหนึ่งวงเล็บเท่านั้น


ทีนี้ต่อมารีมานน์ก็ได้ขยาย Euler zeta function นี้ให้นิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนด้วย และได้ฟังก์ชันใหม่คือ Riemann zeta function f(z) ดังนี้ครับ

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ที่ Re(z) > 1 ให้

$$f(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+...$$


ที่นิยามแบบนี้เฉพาะ z ที่ Re(z) > 1 ก็เพราะอนุกรมทางขวาจะลู่เข้าภายใต้เงื่อนไขดังกล่าวครับ และในกรณีนี้ f(z) ยังจะหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดที่นิยามด้วย และเพื่อที่จะขยาย f(z) ไปยังส่วนอื่นของระนาบเชิงซ้อน รีมานน์ได้ใช้เทคนิค Alnalytic Continuation (ซึ่งปัจจุบันอยู่ในเนื้อหาวิชา Complex Analysis ระดับบัณฑิตศึกษา) ได้ว่า


สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่ง $Re(z) < 1$ หรือ $Re(z) = 1$ ให้

$$f(z)=\frac{G(1-z)}{2\pi i} \times [countour integration จาก infinity ถึง infinity ของ \frac{(-x)^z}{x(e^z - 1)} dx] $$ (อันนี้ผมไม่ทราบว่า countour integration คืออะไรจึงไม่รู้เครื่องหมาย)

โดยที่ G คือ Gamma function นิยามโดย

$$G(z)=\int_{0}^{\infty}\, \frac{e^{-u}}{u^{z-1}} du$$

และ contour เริ่มจาก infinity ทางบวก ไล่มาในแนวขนานและเหนือกับแกนจริง วนรอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกาหนึ่งรอบ และวนกลับไปยัง infinity อีกครั้งในแนวขนานใต้แกนจริง ถึงตรงนี้ถ้ามึนก็ไม่ต้องกังวลครับ เพราะเป็นความรู้ที่สวนใหญ่เรายังไม่ได้เรียนกัน เอาเป็นว่าได้เห็นหน้าตาคร่าวๆของ Riemann zeta function กันแล้วนะครับ

คราวนี้ก็มาถึงประเด็นที่ว่า Riemann Hypothesis (หรือ RH)เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะยังไง ก็ต้องกล่าวถึงฟังก์ชัน P(x) ซึ่งในที่นี้คือจำนวนของจำนวนเฉพาะทำงหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x เช่น P(10) = 4, P(100) = 25 เป็นต้น ปัจจุบันเราทราบว่า Riemann Hypothesis นั้นสมมูล (คือถ้าอันใดอันหนึ่งจริง อีกอันหนึ่งต้องจริงด้วย) กับทฤษฎีที่ว่า

$$P(x) = Li(x) + O((\sqrt(x))(log x))$$

โดยที่ $Li(x) =$ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ$ [\int_{2}^{x}\ \frac{t}{log \ t} dt] $

และ $O(\sqrt x)(log x)$ คือฟังก์ชันที่บ่งว่าความคลาดเคลื่อนจะไม่เกิน $c(\sqrt x)(log x)$ สำหรับบางค่าคงที่ $c $ (log ทุกแห่งฐาน e นะครับ)

นอกจากเรื่องจำนวนเฉพาะแล้ว RH ยังเกี่ยวกับ Quantum Mechanics อีกด้วยนะครับ และมีทฤษฎีจำนวน(สมัยใหม่) มากมายที่อาศัยสมมุติฐานที่ว่า RH เป็นจริงในการพิสูจน์ เพราะฉะนั้นถ้าเกิดวันไหนมีคนพิสูจน์ได้ว่า RH ไม่จริงขึ้นมาก็คงวุ่นวายน่าดู แต่แนวโน้มคงจะสรุปว่า RH เป็นจริงมากกว่าครับ เช่น มีการใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณหา nontrivial solutions ของ f(z) = 0 ไปจนถึง 1,500,000,000 ผลเฉลยแรก ก็ยังพบว่าเป็นไปตาม RH กล่าวคือ Re(z) = 1/2 ทั้งสิ้น

Riemann Hypothesis ไม่ใช่ปัญหาหมูๆเลย ขนาดที่ David Hilbert (1862 - 1943) นักคณิตศาสตร์นามกระเดื่องแห่งศตวรรษที่ 19 - 20 เคยกล่าวไว้ว่า ถ้าหากเขานอนหลับไปสักห้าร้อยปี คำถามแรกที่เขาจะถามหลังจากตื่นขึ้นมาก็คือ "มีคนแก้ Riemann Hypothesis ได้รึยัง?"


เครดิต http://mail.vcharkarn.com/vcafe/28607

หลังจากอ่านจบ ใครอยากพิสูจน์ข้อคาดการณ์นี้ก็ตามสบายเลยนะครับ

ผมเป็นคนหนึ่งที่อยากเห็นคนไทยพิสูจน์ได้

ปล.ผมพิมพ์อะไรผิดก็ขออภัยครับ ตรงที่ code ผิด ผมหาที่ผิดไม่เจออะครับ

[คนมันห่วย]

ร้ายกาจ!!!

[Ne[S]zA]

แบบนี้หรือเปล่าครับ ตรง \frac{1}{3^k) <<<< } ครับที่ผิด
$$g(k)=[1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{4^k}+...][1+\frac{1}{3^k}+\frac{1}{9^k}+...][1+\frac{1}{5^k}+\frac{1}{25^k}+...]...$$

[polsk133]

ขอบคุณครับ

[HL~arc-en-ciel]

อ่านโจทย์ยังไม่ค่อยเข้าใจเลยครับ - -

[หยินหยาง]

# 5
กระทู้เค้าบอกว่าให้อ่านเล่นๆ แต่ถ้าไปอ่านจริงจังเข้า เดี๋ยวจะโดนโจทย์ปัญหาเล่นเอา