หยุดยาว ทำโจทย์

[TimeTimeFruit]

ไม่เกินหลักสูตร ม.ปลาย ทำเตรียมสอบ สอวน. ได้ครับ

1.จงหาค่าของ x , y จากสมการ $$log\left(x^2+9\,\right) + log\left(y^2+16\,\right) = log x + log y + log 48$$
2.จงหาค่าของ $$\frac{3}{1!+2!+3!} +\frac{4}{2!+3!+4!} + ... + \frac{2001}{1999!+2000!+2001!} +\frac{1}{2001!}$$
3.กำหนด $f\left(x\,\right) =\frac{2}{4^x+2}$ จงหาค่า่ของ $$f\left(\frac{1}{2001} \,\right) +f\left(\frac{2}{2001} \,\right) + ... + f\left(\frac{2000}{2001} \,\right)$$
4.จงแก้สมการ $$2^x + 3^x + 6^x - 4^x - 9^x = x^2$$
5.ถ้า $cosA + cosB + cosC = 0$ แล้ว จงหาค่าของ $$\frac{cosAcosBcosC}{cos3A+cos3B+cos3C}$$
6.จงหาค่าของ $$\frac{\frac{1004!}{1000!} -\frac{1003!}{999!} }{\sqrt{\frac{1004!}{1000!} +1} -\sqrt{\frac{1003!}{999!} +1} }$$
7.หากพหุนาม $1-x+x^2-x^3+ ... +x^{16}-x^{17}$ สามารถเขียนในรูป $a_0+a_1y+a_2y^2+a_3y^3+ ... +a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}$ เมื่อ $y = x+1$ แล้ว จงหาค่าของ $a_2$

8.กำหนด $2^{1000} = x$ แล้ว จงหาค่าของ $$\binom{2000}{2} +\binom{2000}{5} +\binom{2000}{8} +...+\binom{2000}{2000} $$
9.จงแก้สมการ $$2^x+3^x+6^x=x^2$$
10.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งมี $abc=1$ จงหาค่าสูงสุดของ $$\frac{1}{a+b+1} +\frac{1}{b+c+1} +\frac{1}{c+a+1}$$
11.จงแก้สมการหา $\left(x,y\,\right)$ เมื่อ $$x+\frac{3x-y}{x^2+y^2} =3 , y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=0$$
12.จงหาค่าของ $x^2+y^2+z^2+w^2$ เมื่อ $$\frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1$$ $$\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1$$ $$\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1$$ $$\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1$$
13.จงหาค่าของ $$cos\frac{\pi }{7} -cos\frac{2\pi }{7} +cos\frac{3\pi }{7}$$
14.จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2 + y^2$ เมื่อจำนวนจริง $x,y$ สัมพันธ์กันดังสมการ $$(x+5)^2 + (y-12)^2 = 14^2$$
15.ถ้า $sinAcosA = \frac{1}{3} $ แล้ว จงหาค่าของ $sin^6A + cos^6A$

16.กำหนด x เป็นมุมที่อยู่ระหว่าง 0 - 45 องศา จงเรียงลำดับค่าความมากน้อยของ
$$\left(a\,\right) tan x ^{tan x} , \left(b\,\right) tan x ^{cot x} , \left(c\,\right) cot x ^{tan x} , \left(d\,\right) cot x ^{cot x}$$
17.ถ้า $a,b,c\not= 0$ , $a + b + c = 0$ , $a^3 + b^3 + c^3 = a^5 + b^5 + c^5$ แล้ว
จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$

18.กำหนด $a , b , c, d$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ทำให้ $a^2 + b^2 = 1$ , $c^2 + d^2 = 1$ , $ac + bd = 0$ จงหาค่าของ $1. a^2 + c^2 , 2. b^2 + d^2 , 3. ab + cd$

19.กำหนด $f:R^+\rightarrow R^+$ เป็นฟังก์ชันลด ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x,y$ แล้ว จงหาค่าของ $\left(fof\,\right)\left(2553\,\right)$ เมื่อ $$f\left(x+y\,\right) + f\left(f\left(x\,\right) +f\left(y\,\right) \,\right) = f\left(f\left(x+f\left(y\,\right) \,\right) +f\left(y+f\left(x\,\right) \,\right) \,\right)$$
20.กำหนด $f:N\rightarrow N$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f\left(n+1\,\right)>f\left(n\,\right)$ และ $\left(fof\,\right)\left(n\,\right) = 3n$ แล้ว จงหา $f\left(2001\,\right)$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 2 ข้อนี้ไม่ยาก
หลักการ จัดรูปแล้ว telescope
รูปแบบทั่วไปคือ$ \sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{(n+1)!}- \dfrac{1}{(n+2)!}$
ตอบ $\dfrac{1}{2}$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 3 หลักการ $f(x) + f(1-x) = 1 $
จับคู่ ตอบ $1000$

[กิตติ]

15.ถ้า $sinAcosA = \frac{1}{3} $ แล้ว จงหาค่าของ $sin^6A + cos^6A$

.....ขอทำข้อง่ายๆก่อนครับ ข้อยากๆบ่ไหวครับ
$sin^6A + cos^6A=(sin^4A + cos^4A-sin^2Acos^2A)$

$=(sin^4A + cos^4A+2sin^2Acos^2A-3sin^2Acos^2A)$

$=(sin^2A + cos^2A)^2 -3sin^2Acos^2A$

จาก$sinAcosA = \frac{1}{3} \rightarrow sin^2Acos^2A=\frac{1}{9} $

$sin^6A + cos^6A=(sin^2A + cos^2A)^2 -3sin^2Acos^2A =1-\frac{1}{3} =\frac{2}{3} $

[กิตติ]

13.จงหาค่าของ $cos\frac{\pi }{7} -cos\frac{2\pi }{7} +cos\frac{3\pi }{7}$

ตอบ$\frac{1}{2} $
$cos\frac{\pi }{7} -cos\frac{2\pi }{7} +cos\frac{3\pi }{7}$
$=\dfrac{2cos\frac{\pi }{14} }{2cos\frac{\pi }{14} }\left[\,\right.cos\frac{\pi }{7} -cos\frac{2\pi }{7} +cos\frac{3\pi }{7}\left.\,\right] $
$=\dfrac{1}{2cos\frac{\pi }{14}} \left[\,\right.2cos\frac{\pi }{14} cos\frac{\pi }{7} -2cos\frac{\pi }{14}cos\frac{2\pi }{7} +2cos\frac{\pi }{14}cos\frac{3\pi }{7}\left.\,\right] $
$=\dfrac{1}{2cos\frac{\pi }{14}} \left[\,\right.(cos\frac{3\pi }{14}+cos\frac{\pi }{14})-(cos\frac{5\pi }{14}+cos\frac{3\pi }{14})+(cos\frac{7\pi }{14}+cos\frac{5\pi }{14})\left.\,\right] $
$=\dfrac{1}{2cos\frac{\pi }{14}} \left[\,\right.(cos\frac{\pi }{14}+cos\frac{\pi }{2})\left.
\,\right] $
$cos\frac{\pi }{2}=0$

$cos\frac{\pi }{7} -cos\frac{2\pi }{7} +cos\frac{3\pi }{7} = \frac{1}{2}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

9.จงแก้สมการ $2^x+3^x+6^x=x^2$

โจทย์ข้อนี้เด็กมัธยมปลายทำยังไงไม่รู้ครับ

แต่เด็กประถมมองตัวเลขแล้วคุ้นๆมาก

$\because \ \ \ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$

$2^{-1} + 3^{-1} + 6^{-1} = 1 = (-1)^2 $

$x = -1$

[Keehlzver]

ข้อ 2) จาก $\frac{n+1}{(n-1)!+n!+(n+1)!}=\frac{n+1}{(n-1)!(1+n+n(n+1))}=\frac{n+1}{(n-1)!(n+1)^2}=\frac{1}{(n+1)(n-1)!}=\frac{n}{(n+1)n(n-1)!}=\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$

จากโจทย์จะได้ $\sum_{n=2}^{2000} \frac{n+1}{(n-1)!+n!+(n+1)!}+\frac{1}{2001!}=\sum_{n=2}^{2000} (\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!})+\frac{1}{2001!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{2000!}-\frac{1}{2001!}+\frac{1}{2001!}=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$



ข้อ 5) ให้ $a=\textrm{cos}A,b=\textrm{cos}B,c=\textrm{cos}C$ จากเอกลักษณ์ $\textrm{cos}3\theta=4\textrm{cos}^3\theta-3\textrm{cos}\theta$ เเละ $a^3+b^3+c^3=3abc$ เมื่อ $a+b+c=0$
โจทย์ถาม $\frac{abc}{4(a^3+b^3+c^3)-3(a+b+c)}$ เเทนค่า $\frac{abc}{4(a^3+b^3+c^3)-3(a+b+c)}=\frac{abc}{12abc-0}=\frac{1}{12}$



ข้อ 7) โจทย์ถามสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^2$ เเทนค่า $x=y-1$ จะได้ว่า ต้องหา $1-(y-1)+(y-1)^2-(y-1)^3+...+(y-1)^{16}-(y-1)^{17}$

เเต่ละสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^2$ ก็หาออกมาจากทวินาม จะได้ $a_{2}=\binom{2}{0}+\binom{3}{1}+\binom{4}{2}+\binom{5}{3}+...+\binom{17}{15}=1+3+6+10+...+272=\frac{1}{2}(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+16\cdot 17)$

เรารู้ว่า $\sum_{n = 1}^{k}n(n+1)=\sum_{n = 1}^{k}(n^2+n)=\sum_{n=1}^{k}n^2+\sum_{n=1}^{k}n=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{k(k+1)}{2}$

ดังนั้น $a_{2}=\frac{1}{2}(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+16\cdot 17)=\frac{1}{2}(\frac{16(16+1)(2*16+1)}{6}+\frac{16*17}{2})=816$

รบกวนโพสต์วิธีทำข้อ 1,4,6,14 ด้วยครับ ส่วนข้อที่เหลือขอเป็น hint ได้ไหมครับ เพราะลองทำดูเเล้วไม่ออกจริงๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

6.จงหาค่าของ $\dfrac{\frac{1004!}{1000!} -\frac{1003!}{999!} }{\sqrt{\frac{1004!}{1000!} +1} -\sqrt{\frac{1003!}{999!} +1} }$

ให้ $ \dfrac{1004!}{1000!} = a \ \ \ \dfrac{1003!}{999!} = b$ จะได้

$\dfrac{\frac{1004!}{1000!} -\frac{1003!}{999!} }{\sqrt{\frac{1004!}{1000!} +1} -\sqrt{\frac{1003!}{999!} +1} } = \dfrac{a-b}{\sqrt{a+1}- \sqrt{b+1}}$

$ = \dfrac{a-b}{\sqrt{a+1}- \sqrt{b+1}} \times \dfrac{\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}}{\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}} = \sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}$ ....(*)


$ \because \ \ \ \sqrt{a+1} = \sqrt{\dfrac{1004!}{1000!} +1} = \sqrt{\dfrac{1004!+1000!}{1000!}} = \sqrt{\dfrac{1000!(1004 \cdot 1003 \cdot 1002 \cdot 1001 +1)}{1000!}} $

$= \sqrt{1004 \cdot 1003 \cdot 1002 \cdot 1001 +1} $

ให้ $c = 1004 \ \ $ จะได้

$ \ \ \sqrt{1004 \cdot 1003 \cdot 1002 \cdot 1001 +1} = \sqrt{c \cdot (c-1) \cdot (c-2) \cdot (c-3) +1} $

$ = \sqrt{(c(c-3)+1)^2} = c(c-3)+1 = 1004(1004-3)+1 = 1004 \cdot 1001+1 $

ทำนองเดียวกัน จะได้ $ \sqrt{b+1} = \sqrt{ \dfrac{1003!}{999!}} = 1003\cdot 1000+1$

$\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1} = (1004 \cdot 1001+1) + (1003\cdot 1000+1) = 2005006$


$\dfrac{\frac{1004!}{1000!} -\frac{1003!}{999!} }{\sqrt{\frac{1004!}{1000!} +1} -\sqrt{\frac{1003!}{999!} +1} } = 2005006 \ \ \ Ans.$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

14.จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2 + y^2$ เมื่อจำนวนจริง $x,y$ สัมพันธ์กันดังสมการ $$(x+5)^2 + (y-12)^2 = 14^2$$

$(x,y)$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(-5,12)$ รัศมียาว $14$ หน่วย

ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ คือระยะทางต่ำสุดจากจุดกำเนิดไปยังวงกลม

ถ้า $(x_0,y_0)$ เป็นจุดบนวงกลมที่ให้ค่าต่ำสุด ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุด $(x_0,y_0)$ จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $(x_0,y_0)$

จากสมบัติของวงกลมที่ว่า รัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงกลมเสมอ

เราจะได้ว่า $(-5,12),(0,0),(x_0,y_0)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ถ้าเราลากรัศมีของวงกลมให้ผ่านจุดกำเนิดและไปจบที่ $(x_0,y_0)$ เราจะได้ทันทีว่า

$\sqrt{x_0^2+y_0^2}=1$ เนื่องจากจุด $(-5,12)$ ห่างจากจุดกำเนิด $13$ หน่วยพอดี ดังนั้น

$x^2+y^2\geq x_0^2+y_0^2=1$

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

1.จงหาค่าของ x , y จากสมการ $$log\left(x^2+9\,\right) + log\left(y^2+16\,\right) = log x + log y + log 48$$

ข้อ 1 เอาเป็น hint ไปแทนแล้วกันนะครับ จัดรูปแล้วสังเกตว่า
$$(x^2+3^2)(y^2+4^2)=4(x)(3)(y)(4)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

14.จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2 + y^2$ เมื่อจำนวนจริง $x,y$ สัมพันธ์กันดังสมการ $$(x+5)^2 + (y-12)^2 = 14^2$$

แถมให้อีกหนึ่งวิธีสำหรับสาวกอสมการโคชีครับ

จากสมการโจทย์จะได้

$x^2+10x+y^2-24y-27=0$

จากความสัมพันธ์นี้ต้องจัดรูปสมการใหม่เพื่อให้ใช้เงื่อนไขโจทย์ได้ หลังจากผ่านอสมการโคชีไปแล้ว

ซึ่งสามารถจัดออกมาเป็นแบบนี้ได้

$\dfrac{x^2+y^2+27}{2}=x(x+5)+y(y-12)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \sqrt{(x^2+y^2)((x+5)^2+(y-12)^2)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=14\sqrt{x^2+y^2}$

ดังนั้น

$x^2+y^2+27\leq 28\sqrt{x^2+y^2}$

$(\sqrt{x^2+y^2}-1)(\sqrt{x^2+y^2}-27)\leq 0$

$1\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq 27$

ซึ่งก็สอดคล้องกับวิธีข้างบนและแถมค่าสูงสุดมาให้ด้วย

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์ข้อนี้เด็กมัธยมปลายทำยังไงไม่รู้ครับ

แต่เด็กประถมมองตัวเลขแล้วคุ้นๆมาก

$\because \ \ \ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$

$2^{-1} + 3^{-1} + 6^{-1} = 1 = (-1)^2 $

$x = -1$

• ถ้า $x\ge 0$ จะเห็นว่า $2^x+3^x+6^x>x^2$
• ถ้า $x\le 0$ ได้ว่า

  $2^x+3^x+6^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ซึ่งมีค่าที่ $x=0$ เื่ท่ากับ $3$
  $x^2$ เป็นฟังก์ชันลด ซึ่งมีค่าที่ $x=0$ เท่ากับ $0$

  ดังนั้นจะมีคำตอบเดียวในช่วง $x\le 0$

ทีนี้เด็กมัธยมปลายก็ต้องใช้ความคุ้นตอนประถมหาคำตอบนั้นมาให้ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit

18.กำหนด $a , b , c, d$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ทำให้ $a^2 + b^2 = 1$ , $c^2 + d^2 = 1$ , $ac + bd = 0$ จงหาค่าของ $1. a^2 + c^2 , 2. b^2 + d^2 , 3. ab + cd$

เงื่อนไขโจทย์ทำให้เราสามารถสร้างสมการ matrix ได้ดังนี้

$\pmatrix{a & b \\ c & d}\pmatrix{c & a \\ d & b}=\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$

ถ้าหา determinant ทั้งสองข้างจะได้ $ad-bc=?$

จากนั้นก็ลองเล่นกับสมการ

$\pmatrix{c & a \\ d & b}=\pmatrix{a & b \\ c & d}^{-1}\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$

จะได้ความสัมพันธ์สวยๆออกมา ที่เหลือก็คงไม่ยากแล้วล่ะ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เงื่อนไขโจทย์ทำให้เราสามารถสร้างสมการ matrix ได้ดังนี้

$\pmatrix{a & b \\ c & d}\pmatrix{c & a \\ d & b}=\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$

ถ้าหา determinant ทั้งสองข้างจะได้ $ad-bc=?$

จากนั้นก็ลองเล่นกับสมการ

$\pmatrix{c & a \\ d & b}=\pmatrix{a & b \\ c & d}^{-1}\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$

จะได้ความสัมพันธ์สวยๆออกมา ที่เหลือก็คงไม่ยากแล้วล่ะ

โอ้ สวยมากครับ

จากไอเดียของคุณ nooonuii ทำให้ได้อีกวิธีนึง

โจทย์ให้

$\pmatrix{a & b \\ c & d}\pmatrix{a & c \\ b & d}=I$

ดังนั้น

$I=\pmatrix{a & c \\ b & d}\pmatrix{a & b \\ c & d}=\pmatrix{a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2}$

[Siren-Of-Step]

ช่วยแนะแนวทางข้อ 10 และ 12 ด้วยครับ
คุ้นๆ ข้อ 12 ว่าเป็นข้อสอบ AIME , APMO อะไรซักอย่าง