ข้อสอบสอวน.ศูนย์หาดใหญ่ปี 2553

[หยินหยาง]

โจทย์ให้หา $\sqrt{12-2\sqrt{12+2\sqrt{12-2\sqrt{12+...}}}}$ ค่านี้ ซึ่งเราเห็นได้ชัดว่าค่านี้ย่อม $< \sqrt{12}$ ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะมีคำตอบเป็น $x=1+\sqrt{13}$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $ \sqrt{12}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ให้หา $\sqrt{12-2\sqrt{12+2\sqrt{12-2\sqrt{12+...}}}}$ ค่านี้ ซึ่งเราเห็นได้ชัดว่าค่านี้ย่อม $< \sqrt{12}$ ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะมีคำตอบเป็น $x=1+\sqrt{13}$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $ \sqrt{12}$

ขอบคุณมากครับคุณหยินหยาง
ที่ยังคอยตอบคำถามให้คนไม่ฉลาดอย่างผมตั้งแต่ข้อแรกครับ

[nooonuii]

ุ
6.กำหนดให้ $x=0.2553$ โดยที่ $a=x^x$ , $b=x^{x^x}$ และ $c=x^{x^{x^x}}$ จงเรียงลำดับ $a,b$ และ $c$
ึ

ลองพิสูจน์ตามนี้ (สีแดงผิดครับ ดูสีน้ำเงิน)

ถ้า $0<x<1$ แล้ว $0<x<x^{x^{x^x}}<x^x<x^{x^x}<1$

ถ้า $0<x<1$ แล้ว $0<x<x^{x^x}<x^{x^{x^x}}<x^x<1$

พิสูจน์ส่วนที่ยากที่สุดให้ดูละกัน ส่วนที่เหลือใช้ trick เดียวกัน

$x^{x^{x^x}}<x^x\Leftrightarrow x^{x^x}\ln{x}<x\ln{x}$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow x^{x^x}>x$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow x^x\ln{x}>\ln{x}$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow x^x<1$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow x\ln{x}<0$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow \ln{x}<0$

$~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow x<1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน


4.กำหนดให้ $x^6=1$ โดยที่ $x\not= \pm1$ จงหาค่าของ $x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$x^6=1$

$x^6-1 = 0$

$(x-1) (x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$

$(x-1) (x+1) (x^2-x+1) (x^2+x+1) =0 $

$\because \ \ (x-1) \not= 0 \ \ $ และ $ \ \ (x+1) \not= 0$

ดังนั้น $ \ \ (x^2-x+1) = 0 \ \ $ และ $ \ \ (x^2+x+1) =0 $


กรณี $ \ \ (x^2-x+1) = 0 \ \ $

$ x \not= 0 \ \ x $ หารตลอด $ \ \ x-1+\frac{1}{x} =0$

$x +\frac{1}{x} =1$

$x^2+2+\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2+\frac{1}{x^2} = -1$ ....(*)




กรณี $ \ \ (x^2+x+1) = 0 \ \ $

$ x \not= 0 \ \ x $ หารตลอด $ \ \ x+1+\frac{1}{x} =0$

$x +\frac{1}{x} = -1$

$x^2+2+\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2+\frac{1}{x^2} = -1$ ....(**)

ค่าของ $x^2+\dfrac{1}{x^2} = -1 \ \ \ Ans. $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน

14.จงหาจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีค่าระหว่าง 0-500 ที่มีสมบัติต่อไปนี้
I) มีสมบัติเป็น Perfect square (สามารถเขียนในรูปของกำลังสองได้)
II) มีสมบัติเป็นผลรวมของจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงติดกัน

จำนวนเต็มสามจำนวนเรียงติดกัน คือ $(x-1), \ x, \ (x+1)$

ผลรวมของจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงติดกัน คือ $(x-1)+x+ (x+1) = 3x$

นั่นคือจำนวนที่มีสมบัติเป็น Perfect square นั้นต้องหารด้วย 3 ลงตัว

จำนวนที่มีสมบัติเป็น Perfect square คือ 4, 9, 16, 25, . . . 400. 441, 484

จำนวนข้างต้นที่ หารด้วย 3 ลงตัว มี 7 จำนวน คือ 9, 36, 81, 144, 225, 324, และ 441

$ 3^2 = 9 = 2+3+4 $

$ 6 ^2 = 36 = 11+12+13$

$ 9 ^2 = 81 = 26+27+28 $

$ 12^2 = 144 = 47+48+49$

$ 15^2 = 225 = 74+75+76$

$ 18^2 = 324 = 107+108+109$

$ 21^2 = 441 = 146+147+148$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน


10.เด็กกลุ่มหนึ่งจำนวน 75 คนเข้าไปในสวนสนุกแห่งหนึ่งซึ่งมีเครื่องเล่น 3 ชนิดคือ A, B และ C โดยมีจำนวนเด็กที่เล่นเครื่องเล่นครบ 3 ชนิดจำนวน 20 คน
และมีเด็กที่เล่นเครื่องเล่นอย่างน้อยที่สุด 2 ชนิดจำนวน 55 คน ถ้าอัตราการเล่นเครื่องเล่นต่อครั้งเท่ากับ 50 สตางค์ ถ้าเจ้าของสวนสนุกได้รับเงินจากเด็กๆ จำนวน 70 บาท
จงหาจำนวนของเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นใดเลย

มามั่วดูครับ

ปกติระดับนี้ต้องเขียน แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์



แต่ลองคิดๆดูแบบประถมๆ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

เงิน 70 บาท แสดงว่ามีการเล่น 140 ครั้ง

มีเครื่องเล่น 3 ชนิด (แต่ละคนเล่นได้ชนิดละ 1 ครั้งเท่านั้น ซึ่งโจทย์ไม่ได้กำหนด)


หนึ่งคนเล่น 3 ชนิด มี 20 คน = 20 x 3 = 60 ครั้ง

หนึ่งคนเล่น 2 ชนิด มี (55- 20 = 35 คน ) = 35 x 2 = 70 ครั้ง

หนึ่งคนเล่น 1 ชนิด มี (140-60-70 = 10 ครั้ง) =10 คน

ดังนั้นเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นเลย = 75 - (20+35+10) = 10 คน


ตอบ จำนวนของเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นใดเลยมี 10 คน

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มามั่วดูครับ

ปกติระดับนี้ต้องเขียน แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์



แต่ลองคิดๆดูแบบประถมๆ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

เงิน 70 บาท แสดงว่ามีการเล่น 140 ครั้ง

มีเครื่องเล่น 3 ชนิด (แต่ละคนเล่นได้ชนิดละ 1 ครั้งเท่านั้น ซึ่งโจทย์ไม่ได้กำหนด)


หนึ่งคนเล่น 3 ชนิด มี 20 คน = 20 x 3 = 60 ครั้ง

หนึ่งคนเล่น 2 ชนิด มี (55- 20 = 35 คน ) = 35 x 2 = 70 ครั้ง

หนึ่งคนเล่น 1 ชนิด มี (140-60-70 = 10 ครั้ง) =10 คน

ดังนั้นเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นเลย = 75 - (20+35+10) = 10 คน


ตอบ จำนวนของเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นใดเลยมี 10 คน

คิดแบประถมถูกที่สุดละครับ
ผมเจ็บใจข้อนี้ที่สุด ผมเอา 70-65=5 แทนที่จะเอา 75-65=10

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

คิดแบประถมถูกที่สุดละครับ
ผมเจ็บใจข้อนี้ที่สุด ผมเอา 70-65=5 แทนที่จะเอา 75-65=10

คนออกข้อสอบคงตั้งใจใส่เลข 70 บาท มาเป็นตัวหลอก ให้สับสนกับ 75 คน เผื่อมีเด็ก(ทำโจทย์จนเบลอ)มาติดกับ

ไม่เป็นไรครับ ยังมีข้ออื่น ได้สักครึ่งก็น่าจะผ่านแล้วครับ

[Mwit22#]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

จากโจทย์ "จะตามกันทัน" แปลว่า วิ่งทางเดียวกัน

$10km/hr = \frac{1000}{6}$ เมตรต่อนาที

$8km/hr = \frac{800}{6}$ เมตรต่อนาที

ทุกๆหนึ่งนาที คนวิ่งเร็วจะทิ้งห่างคนวิ่งช้า $ \frac{1000}{6} - \frac{800}{6} = \frac{200}{6}$

ตามทัน = น็อครอบ

ดังนั้น 400 เมตร ใช้เวลา $\dfrac{400}{\frac{100}{6}} = 24 \ $นาที


ดังนั้น 400 เมตร ใช้เวลา $\dfrac{400}{\frac{200}{6}} = 12 \ $นาที
(12 นาที คนวิ่งเร็ว วิ่งได้ 5 รอบ คนวิ่งช้า วิ่งได้ 4 รอบ)

คือผมสงสัยว่า เปลี่ยน km/hr เป็น m/s มันต้องคูณด้วย 5/18 ไม่ใช่หรอครับ

[poper]

ทำไมต้องเปลี่ยนเป็น m/s ด้วยละครับ เป็น m/min ก็พอครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $0<x<1$ แล้ว $0<x<x^{x^{x^x}}<x^x<x^{x^x}<1$

น่าจะเป็น $0<x<x^{x^x}<x^{x^{x^x}}<x^x<1$ นะครับ เพราะว่า

$x^{x^x}<x^{x^{x^x}}\Leftrightarrow x^x>x^{x^x}$
$\Leftrightarrow x<x^x$
$\Leftrightarrow 1>x$

[Mwit22#]

ขอโทษครับ ผมสะเพร่าเอง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

น่าจะเป็น $0<x<x^{x^x}<x^{x^{x^x}}<x^x<1$ นะครับ เพราะว่า

$x^{x^x}<x^{x^{x^x}}\Leftrightarrow x^x>x^{x^x}$
$\Leftrightarrow x<x^x$
$\Leftrightarrow 1>x$

แก้ให้แล้วครับ ขอบคุณครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน

7.กำหนดให้การเขียน $n$ ในรูปฐาน $11$ และ $13$ คือ $(xyz)_{11}$ และ $(zyx)_{13}$ ตามลำดับ นั่นคือ $(xyz)_{11}=(zyx)_{13}=n$ จงหาค่าของ $n$ ในรูปฐาน $10$

ข้อนี้ยังทำไม่ได้หรอกครับ

ถ้าเก็บไปคิดคนเดียว ก็คงคิดไม่ออก

ดังนั้นขออนุญาตขุดข้อนี้มาทำก่อน

เพราะถ้าไม่ทำ ก็คงยากที่จะมีคนมาแนะนำ หรือชี้ทาง (ก็มืดต่อไป)


$(xyz)_{11}=(zyx)_{13}=n$

ใช้หลักการกระจาย

$x(11)^2 + y(11)^1 + z(10)^0 = z(13)^2 + y(13)^1 + x(13)^0 = a(10)^2 + b(10)^1 + c(10)^0 $

จะได้ $121x + 11y +z = 169z+13y + x $

$120x - 2y - 168 z = 0$

$60x - y - 84 z = 0$

$60x = 84z + y \ \ \ $ (โดยหลักเลขฐาน $ {x, y, z } \leqslant 10 )$

ทำยังไงให้ได้รูป $100a +10b +c =$ ?

แนวคิดผมแบบมัธยมต้นก็แบบนี้ แต่ก็ไปต่อไม่ถูก



มาต่อครับ 09.38 น.

มาลองแทนค่าในสมการข้างต้นดู โดยให้ $x, y, z \ $ เป็นจำนวนับ และมีค่าไม่เกิน 10

จะได้ว่า $60x = 84z + y = 60(7) = 84(5) +(0)$

ดังนั้น $(xyz)_{11}=(zyx)_{13}= n = (705)_{11} = (507)_{13} = 852_{10} \ \ $ เป็นหนึ่งคำตอบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ยังทำไม่ได้หรอกครับ

ถ้าเก็บไปคิดคนเดียว ก็คงคิดไม่ออก

ดังนั้นขออนุญาตขุดข้อนี้มาทำก่อน

เพราะถ้าไม่ทำ ก็คงยากที่จะมีคนมาแนะนำ หรือชี้ทาง (ก็มืดต่อไป)


$(xyz)_{11}=(zyx)_{13}=n$

ใช้หลักการกระจาย

$x(11)^2 + y(11)^1 + z(10)^0 = z(13)^2 + y(13)^1 + x(13)^0 = a(10)^2 + b(10)^1 + c(10)^0 $

จะได้ $121x + 11y +z = 169z+13y + x $

$120x - 2y - 168 z = 0$

$60x - y - 84 z = 0$

$60x = 84z + y

เกือบจบแล้วครับ

$y=12(5x-7z)$

ดังนั้น $12|y$

แต่ $0\leq y\leq 9$

จึงได้ $y=0$

$x=7,z=5$