Last Fermat Theorem

[gools]

ช่วยตรวจให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน จะได้เอาไปเป็นความคืบหน้าในการทำโครงงาน
ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 แล้วสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก
พิสูจน์ ให้ \(z\) เป็นค่าคงที่ พิจารณาฟังก์ชัน \(f:\mathbf{R}^+\rightarrow \mathbf{R}^+\) โดยที่
\[y=f(x)=\sqrt[n]{z^n-x^n}\]
ให้ฟังก์ชัน \(g(x)=x+k\) เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงที่ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ตัดกับ \(f(x)\) ที่จุด \((x_0,y_0)\) เมื่อ \(GCD(x_0,y_0)=1\)
เนื่องจาก
\[f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=-x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}\]
เมื่อ \(h\) มีค่าเล็กมากๆ \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) จะมีค่าเข้าใกล้ \(-x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}\) ดังนั้น
\[f(x_0+h) \approx -hx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\]
ดังนั้นฟังก์ชัน \(l(h)=-hx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\) เป็นเส้นสัมผัสโดยประมาณที่ดีที่สุดที่จุด \((x_0,y_0)\) เพราะ \(l(h)\) เป็นฟังก์ชันเดียวที่ \(\lim_{h\rightarrow 0} (f(x_0+h)-l(h))=0\)
แทน \(h\) ด้วย \(x\) จะได้ฟังก์ชัน
\[l(x)=-xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)=-xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+\sqrt[n]{z^n-x_0^n}\]
หาจุดตัดของฟังก์ชัน \(l(x)\) และ \(g(x)\) โดยการแทนค่า \(y=x+k\) เข้าไปในฟังก์ชัน \(l(x)\)
\[\begin{array}{rcl}x+k &=& -xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+\sqrt[n]{z^n-x_0^n}\\x(1+x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}) &=& \sqrt[n]{z^n-x_0^n}-k\\x &=& \frac{\sqrt[n]{z^n-x_0^n}-k}{1+x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}}\\&=& \frac{y_0-k}{1+\frac{x_0^{n-1}}{(\sqrt[n]{z^n-x^n})^{n-1}}}\\&=& \frac{y_0-k}{1+\frac{x_0^{n-1}}{y^{n-1}}}\\&=& \frac{y_0^n-ky_0^{n-1}}{y_0^{n-1}+x_0^{n-1}}\end{array}\]
เนื่องจาก \(x=x_0\) ดังนั้น
\[\begin{array}{rcl}x_0&=&\frac{y_0^n-ky_0^{n-1}}{y_0^{n-1}+x_0^{n-1}}\\x_0(y_0^{n-1}+x_0^{n-1})&=&y_0^n-ky_0^{n-1}\\x_0^n-y_0^n&=&-y_0^{n-1}(k+x_0)\\ y_0-\frac{x_0^n}{y_0^{n-1}}&=&k+x_0\end{array}\]
เนื่องจาก \(GCD(x_0,y_0)=1\) และ \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ จะได้ว่าค่า \(x\) หรือค่า \(y\) ของจุดตัดของฟังก์ชัน \(f(x)\) กับฟังก์ชัน \(g(x)\) ไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ
ดังนั้นสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า 2 และ \(GCD(x,y,z)=1\) และจากตรงนี้เราก็สามารถสรุปได้ว่าสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า 2

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
\[f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=-x_0^{n-1}(z-x_0)^{(1-n)/n}\]

ผมหา \(f'(x_0)\) ได้เท่ากับ\[-x_0^{n-1}(z^n-x_0^n)^{(1-n)/n}\]

[gools]

ขอบคุณพี่ warut มากครับ
แก้แล้วนะครับ

[Punk]

One mistake (and maybe many)! First you assume h to be a small perturbation of x from x_0. Thus you define f as a function of x=x_0+h. But then you set h to be x!!! So the new x(=h) is not same as the variable x in the function y=g(x)=x+k, i.e. you cannot find the intersecting point of g and l by the way you did.

Also you cannot set the new x(=h) to be x_0!!!

[alongkorn]

เป็นโครงงาน ป.ตรี เหรอครับ ถ้าคิดออกและถูกก็ถือว่าเป็นเรื่องใหญ่เลยละครับ อยากเป็นกำลังใจให้ครับ เท่าที่อ่านก็เจอข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ ครับ
1. กราฟผิดครับ กราฟของ y = x + k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวก น่าจะตัดแกน x ที่ -k นะครับ
2. ไม่ทราบว่า z ในฟังก์ชัน f ที่กำหนดให้เป็น constant จะเสียนัยสำคัญหรือไม่

ปัญหาเรื่องของการกำหนดให้ h มีค่าน้อยมาก ลองแก้โดยใช้ Mean Value Theorem ดู ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าจะ work หรือไม่

[gools]

ขอบคุณพี่ๆทั้งสองคนมากเลยครับ
งั้นผมแทน \(h\) ด้วย \(x-x_0\) ได้มั้ยครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ดังนั้นฟังก์ชัน \(l(h)=-hx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\) เป็นเส้นสัมผัสโดยประมาณที่ดีที่สุดที่จุด \((x_0,y_0)\)

ผมไม่เข้าใจประโยคนี้ครับ คือเวลาพูดถึงเส้นสัมผัสผมก็นึกถึง linear function ในรูป \(l(x)=ax+b\) แต่ทำไมอันนี้มันเป็นฟังก์ชันของ h ล่ะครับ

[gools]

ก็คงเป็นจุดที่ผิดอีกจุดหนึ่งครับ สมการเส้นสัมผัสจริงๆแล้วต้องแทน \(h\) ด้วย \(x-x_0\) อีกที จะได้ \(f(x) \approx -(x-x_0)x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\) เมื่อ \(h\) มีค่าเข้าใกล้ \(0 \) นั่นคือ \(x\) มีค่าเข้าใกล้ \(x_0\)

[nooonuii]

บอกได้คำเดียวครับว่า

การประมาณไม่ใช่วิถีทางของพีชคณิต

[gools]

คมมากครับพี่ nooonuii
สรุปก็คือวิธีนี้ไม่ work ใช่ไหมครับ

[nooonuii]

มันก็บอกไม่ได้หรอกครับ เพราะอย่าง Analytic Number Theory เขาก็ใช้ Analysis ในการศึกษา แต่ FLT เนี่ยมันเป็นทฤษฎีที่มีความละเอียดสูงมากแม้แต่วิชาพีชคณิตเองยังเข้าไปจับได้ยากมากๆครับ พี่ยังไม่ได้อ่านอย่างละเอียดเลยยังไม่รู้ว่ามีข้อผิดพลาดตรงไหนบ้าง(ตัวหนังสือค่อนข้างเล็กครับ อ่านไม่ค่อยออก ลองใส่ \Large{} คร่อมทั้งข้อความที่มี Latex ดูครับ จะอ่านได้ง่ายขึ้น)