Limit

[Mastermander]

$$\lim_{x\to-5}\sqrt{5+x}$$

หาค่าได้หรือไม่ อย่างไรครับ

เห็นบางคนบอกว่าได้ บางคนบอกไม่ได้

[nongtum]

ฟังก์ชันนี้นิยามสำหรับ $x\ge5$ ดังนั้นเราจะหาลิมิตทางบวกได้ทางเดียวเท่านั้น (หาลิมิตทางลบไม่ได้) นั่นคือไม่มีลิมิตหากพิจารณาว่าลิมิตทั้งสองทางต้องเท่ากัน

[alongkorn]

หาค่าไม่ได้ครับ ฟันธง !!! เพราะ
$$\lim_{x\to -5^-}\sqrt{5 + x}$$
หาค่าไม่ได้ครับ

อ้าว คุณ nongtum ตอบแล้วเหรอครับ

งั้นถามว่าฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{5 + x}$ ต่อเนื่องบนช่วง $[-5, 5]$ หรือไม่

[M@gpie]

อันนี้เป็นความเห็นผมเองนะครับ คิดว่า ถ้าจะพิจารณากันจริงๆ แล้ว เราไม่สามารถนิยามค่าลิมิตทางซ้ายได้ จึงไม่สามารถบอกได้ว่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่ได้โดยใช้ทฤษฏีบทลิมิตซ้าย และ ลิมิตขวา
แต่เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากหนังสือแคลคูลัสพื้นฐานจึงใช้กันปกติ (คือบอกไปก่อนว่าหาค่าไม่ได้ หรือว่า ก็ไม่พูดถึงจุดนี้)

Definition : Let \( A \subseteq R \; \) and let \( f:A \rightarrow R \)
(i) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (c,\infty) = \{x\in A : x>c\} \)
then we say that \( L \in R \; \) is a right-hand limit of f at c and we write
\( lim_{x \rightarrow c^{+}} f = L \)
(ii) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (-\infty,c) = \{ x\in A : x<c\} \)
then we say that \( L \in R \; \) is a left-hand limit of f at c and we write
\( lim_{x \rightarrow c^{-}} f = L \)

พิจารณา \(f(x) = \sqrt{5+x} \; \) เป็นฟังก์ชันจาก \( [-5,\infty) \) ไปยังจำนวนจริงบวก
ลองพิจารณากรณี (ii) จะเห็นว่า x=-5 ไม่เป็น cluster point ของ \( [-5,\infty)\cap(-\infty ,-5) = \phi \) จึงไม่มีความหมายที่จะเขียน ลิมิตซ้าย

แต่สามารถพิสูจน์ได้ว่าลิมิตมีค่าเป็น 0 โดยใช้นิยามดังนี้ (เป้นแบบฝึกหัดให้พิสูจน์ครับ)
\(Theorem : \lim_{x \rightarrow c} \sqrt{x} = \sqrt{c} \text{ for all } c \geq 0 \)
กรณี c=0 จะได้ว่า สำหรับทุก \(\epsilon > 0 \; , x>0 , \; |x| < \delta = \epsilon^2 \rightarrow |\sqrt{x}| < \epsilon \)

กรณี cน0 จะได้ว่า ให้
\( |x-c| < \sqrt{c}\epsilon \rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{c}| < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{c}} = \epsilon \)

Reference : Introduction to Real analysis ; Robert G. Bartle ,second edition

ทุกท่านเห็นว่าไงกันบ้างครับ แสดงความเห็นกันต่อได้

[Mastermander]

ต่างคนต่างความคิด ...

หนังสือแคลคูลัส 1 บอกว่าหาค่าไม่ได้

แต่มีคนบอกว่าใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง หาค่าได้

แล้วใครถูกต้อง หรือว่า แคลคูลัส 1 ยังไม่ต้องสนใจปัญหานี้ ?

[M@gpie]

ตามที่คุณ Mastermander เข้าใจถูกต้องแล้วครับ ใน Calculus 1 ยังไม่ต้องสนใจประเด็นนี้ก่อน ไม่งั้นคงจะปวดหัวกันไปอีกนาน

[Mastermander]

ตอบแบบมัธยมก็หาค่าได้ครับ

$$\lim_{x\to-5}\sqrt{5+x}$$
จากนั้นแทนค่า x=-5 จะได้ $\sqrt{5-5} = 0$

งุงิ

[M@gpie]

แบบมัธยมก็ยังหาค่าไม่ได้นะครับ เพราะ ใช้การพิจาณาลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเหมือนกัน

[Mastermander]

แล้วท่านอื่นๆสรุปว่าอย่างไรครับ

แล้วถ้าออกเป็นข้อสอบว่าควรตอบอย่างไร

[nooonuii]

เป็นปัญหาโลกแตกที่ไม่ค่อยมีใครอยากตอบซักเท่าไหร่ครับ ทางที่ดีที่สุดควรยึด reference เป็นหลัก หลักสูตรม.ปลายนิยามว่ายังไงก็คงต้องใช้ตามนั้นครับ คณิตศาสตร์ก็เหมือนเกมกีฬานั่นแหละครับ เล่นกันไปตามกติกา กีฬาบางประเภทกติกายังไม่เหมือนกันเลยครับ

[M@gpie]

อ่า เป็นปัญหาโลกแตกจริงๆครับ อิอิ
ผมว่าไม่ควรนำมาออกข้อสอบ จะทำให้เด็กๆไปเถียงอาจารย์เปล่าๆ


ปล. พี่ noonuii เช็คให้ด้วยครับว่าวิธีพิสูจน์ใช้ได้เป่าคับ

[warut]

สำหรับในกรณีที่ละเอียดอ่อนเช่นนี้ การใช้นิยามของการมีลิมิตแบบพื้นๆ เช่น ลิมิตทางซ้ายต้องเท่ากับลิมิตทางขวา จะไม่เพียงพอ และอาจทำให้เกิดปัญหา ได้คำตอบที่ผิดๆออกมาครับ ปัญหาของโจทย์ข้อนี้จะคล้ายๆกับกระทู้ ลำดับเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่

เพื่อจะตอบคำถามข้อนี้ เราจำเป็นต้องใช้นิยามของลิมิตที่ rigorous ดังต่อไปนี้ครับ

ให้ $f$ เป็น real function ที่มีโดเมนคือ $D_f \subseteq \mathbb R$ และ $a$ เป็น cluster point ใน $D_f$ เราจะกล่าวว่า $$ \lim_{x\to a} f(x) =l$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon>0$ เราจะสามารถหาจำนวนจริง $\delta>0$ ที่ทำให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง $$\text{ถ้า } x\in D_f \text{ และ } 0<|x-a|< \delta \quad แล้ว \quad |f(x)-l|< \epsilon$$

ส่วนนิยามของ cluster point ก็คือ

เราจะกล่าวว่า $a$ เป็น cluster point ในเซ็ต $D \subseteq \mathbb R$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon>0$ เราจะสามารถหา $x\in D$ ที่ทำให้ $0< |x-a|< \epsilon$ ได้

จากนิยามทั้งสองอันนี้เราจะพบว่า $$\lim_{x\to-5} \sqrt{5+x} =0$$ ครับ

ข้อความเดิมของคุณ alongkorn:
งั้นถามว่าฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{5 + x}$ ต่อเนื่องบนช่วง $[-5, 5]$ หรือไม่

ต่อเนื่องครับ

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
แล้วถ้าออกเป็นข้อสอบว่าควรตอบอย่างไร

ตอบตามที่อาจารย์สอนจะรุ่งที่สุดครับ

[alongkorn]

อืมมมมม เล่นกันถึงขนาดนี้เลยรึเนี่ย งั้นผมขอกลับคำให้การแล้วกันครับ จริง ๆ แล้วในคณิตศาสตร์ ไม่ว่าเราจะมองในแง่มุมไหนก็ควรจะได้คำตอบเหมือนกันนะครับ ลองดูทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับลิมิตซ้ายและลิมิตขวานะครับ

ทฤษฎีบท ให้ $I$ เป็นช่วงเปิดที่บรรจุจุด $c$ และสมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน $I$ อาจยกเว้นที่จุด $c$ จะได้ว่า $\lim_{x\to c}f(x) = L$ ก็ต่อเมื่อ $\lim_{x\to c^+}f(x) = L$ และ $\lim_{x\to c^-}f(x) = L$

เมื่อเราพิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{5 + x}$ จะเห็นได้ว่า $D_f = [-5, \infty)$ ดังนั้นไม่มีช่วงเปิด $I$ ที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทข้างต้น จึงพิจารณาจากลิมิตซ้ายและลิมิตขวาไม่ได้ เพราะฉะนั้นจากกระทู้ก่อนหน้านี้ ฟันธง (อีกที) ว่า $\lim_{x\to -5}\sqrt{5 + x} = 0$

เอ..... แต่จำได้ว่าอาจารย์ที่สอนผมตอน ม.ปลาย และปี 1 บอกว่าหาค่าลิมิตไม่ได้ เฮ้อ งง

[warut]

จริงๆถ้าใช้ ลิมิตทางซ้าย = ลิมิตทางขวา อย่างรัดกุมแบบที่คุณ alongkorn เขียน ก็คงไม่ถึงกับได้คำตอบที่ผิดหรอกครับ เพียงแต่อาจให้คำตอบในกรณีเช่นนี้ไม่ได้ แต่ผมไม่ทราบว่า นิยาม และ ทฤษฎีบท ในระดับ ม.ปลาย จะรัดกุมแบบนี้หรือเปล่า

[ลูกชิ้น]

นู๋ว่ามันก็คงเหมือนหา lim xฎ0 [ ึ[o][/o]x ] นั่นล่ะฮะ

กราฟมันไม่นิยามในช่วง (ฅ,0) อยู่แล้ว ก็เหมือนกับว่าไม่ต้องสนใจ limit ที่จะเข้าใกล้ด้านซ้าย
(ขอพูดด้านซ้ายนะ ไม่เอาด้านลบ)

จะบอกว่ามี limit รึเปล่า ถ้าดูกราฟก็บอกได้ว่าที่ 0 กราฟเข้าใกล้ 0 แน่นอน
แต่ถ้ายึดทฤษฏีบทที่ว่า limit จะหาค่าได้เมื่อ limit ซ้ายขวาหาค่าได้และเท่ากัน ก็คงต้องบอกว่าไม่มีลิมิต

ถ้าออกมาเป็นข้อสอบก็เขียนอธิบายไปเถอะฮะ อาจารย์เค้ารู้ว่าเรามีความรู้ ก็คงได้คะแนนนะ