โจทย์จาก TUGMOs เลือกมาครับ

[Ne[S]zA]

1) ให้ $x$ เป็นจำนวนซึ่งสอดคล้องกับสมการ $x-\frac{1}{4-x}=0$ จงหาค่าของ $x^6+(4-x)^6$
2)กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $3x^3-4x^2+5x+1=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$
3)$$x+y+z=0$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$$
จงหาคำตอบของระบบสมการ เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริง
4)ให้ลำดับ $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ มีสมบัติว่า $a_n+a_{n+1}=a_{n+2}$ สำหรับทุกๆ $n\geqslant 1$ และ $a_2=3$ , $a_{50}=300$ จงหาค่าของ $$\sum_{n = 1}^{48} a_n$$
5)จงแก้สมการ $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงและ $a\not= 0$
6) จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$
7)จงหาค่าของ $\sqrt{x^3+y^3\sqrt{x^3+y^3\sqrt{x^3+y^3\sqrt{x^3+...}}}}$ เมื่อ $x,y\geqslant 0$
8)จากจุด $(1,1)$ ลากเส้นตรงที่แตกต่างกัน $2$ เส้น ไปสัมผัสกับกราฟ $y=x^2+x+3$ จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุด $(1,1)$ และจุดสัมผัสทั้งสอง(ตอบเป็นตารางหน่วย)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

4)ให้ลำดับ $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ มีสมบัติว่า $a_n+a_{n+1}=a_{n+2}$ สำหรับทุกๆ $n\geqslant 1$ และ $a_2=3$ , $a_{50}=300$ จงหาค่าของ $$\sum_{n = 1}^{48} a_n$$

ข้อ 4

Hint

$a_n=a_{n+2}-a_{n+1}$

Solution

$$\sum_{n = 1}^{48} a_n$$
$$=(a_{48})+(a_{47})+...+(a_1)$$
$$=(a_{50}-a_{49})+(a_{49}-a_{48})+...+(a_3-a_2)$$
$$=a_{50}-a_2=297$$

[Ne[S]zA]

น่าจะถูกแล้วครับ คุณ lightlucifer
ผมก็ไม่มีเฉลย ช่วยๆเฉลยกันนะครับ
วันนี้ไปก่อนครับ บายครับผม ง่วง ZZzz..

[คuรักlaข]

ข้อ 7
ตอบ $x^3+y^3$ รึป่าวครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คuรักlaข

ข้อ 7
ตอบ $x^3+y^3$ รึป่าวครับ

ข้อนี้ผมว่ายังไม่เคลียร์ครับ
ถ้าเป็น $\sqrt{(x^3+y^3)\sqrt{(x^3+y^3)\sqrt{...} } }=x^3+y^3$
แต่ถ้า $\sqrt{x^3+y^3\sqrt{x^3+y^3\sqrt{...} } }=\frac{y^3\pm \sqrt{y^6+4x^3} }{2} $
อ่ะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

6) จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$

ผมทำให้อยู่ในรูป n อ่ะครับ เผื่อวันหลังเจอจะได้จำเอกลักษณ์ได้ ผมอธิบายไม่ถูก อ่ะ ต้องทำความเข้าใจนิดหนึ่งนะครับ
$\prod_{n = 1}^{n}\frac{n^2-1}{n^2} = \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\times \frac{(n-2)(n)}{(n-1)^2}\times\frac{(n-3)(n-1)}{(n-2)^2}\times ...\times \frac{(3+1)(3-1)}{3}\times \frac{(2+1)(2-1)}{2^2}=\frac{n+1}{n}\times \frac{1}{2}=\frac{n+1}{2n}$
ดังนั้น
$$\prod_{n = 1}^{100}\frac{n^2-1}{n^2}= \frac{n+1}{2n}=\frac{101}{200}$$

[คuรักlaข]

ขอบคุณ ท่าน Lightlucifer มากๆ ครับ

ผมไม่รอบคอบเอง - -

[คuรักlaข]

มั่วจนตันแล้วครับ ข้อ 3

$z^2+(x+y)z-1 =\frac{yz+zx}{xy}$

แล้วก็กลับมาตันที่เดิม
$yz+zx+xy=x^2yz+xy^2z-xyz$

ได้ก็ทำทีครับ

เดี๋ยวผมลองหาวิธีอื่นก่อนครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คuรักlaข

มั่วจนตันแล้วครับ ข้อ 3

$z^2+(x+y)z-1 =\frac{yz+zx}{xy}$

แล้วก็กลับมาตันที่เดิม
$yz+zx+xy=x^2yz+xy^2z-xyz$

ได้ก็ทำทีครับ

เดี๋ยวผมลองหาวิธีอื่นก่อนครับ

อืม ผมก็จบตรง $x^2+y^2+z^2=0 $ อ่ะครับ เซงเลย

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

5)จงแก้สมการ $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงและ $a\not= 0$

ไม่มั่นใจเลยครับข้อนี้ ผมใช้วิธีแทนค่า x ลงไปอ่ะครับแบบ

$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$
$\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+x}}}}=x$
แล้วแทนไปเรื่อยๆจนถึง อนันต์อ่ะครับ
$\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{...} } } } } } =x$
$\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{...} } } } } } =\sqrt{a+x} $
$\frac{1+\sqrt{4a-3} }{2}= \sqrt{a+x} $
$1+\sqrt{4a-3}=2\sqrt{a+x}$
$4a+2\sqrt{4a-3}-2=4(a+x)$
$\sqrt{4a-3}-1=2x$
$\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}=x$

บอกตรงๆว่ามั่วแหลกๆ

[Math Khwan]

สำหรับข้อ 3 ผมล่ะชอบมากโจทย์แนวๆนี้ - -*

ก็เนื่องจากระบบสมการที่กำหนดมาให้

จนคุณ LightLucifer มาตันที่ $x^2+y^2+z^2=0$

ผมเคยตอบไปในกระทู้นึงแล้วว่า

$[...]^2 \geqslant 0$

ถ้ามี $[...]^2 + [...]^2 +...+[...]^2 = 0$

มีทางเดียวคือ เจ้า $[...]^2 = 0 แน่ๆ$

เราจึงสรุปได้ว่า x = y = z = 0

แต่ผมอยากให้ทุกคนหันไปดูโจทย์ครับว่ามันมีสมการนึงคือ

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 0$$

แต่ x,yและzเป็นส่วนจึงห้าม = 0โดยเด็ดขาด

$\therefore ระบบสมการนี้จะมีคำตอบ ฤๅ$

ปล.รู้สึกว่าผมเคยทำมาล่ะ - -* แรกๆก็งง

[Math Khwan]

ข้ออื่นเดี๋ยวคิดให้นะครับ ไปนอนก่อน - -*

[[SIL]]

ถกกันข้อที่ชอบอยู่พอดีเลยครับ
$(i)–––– x+y+z = 0$
$(ii)–––– \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0$
$(iii)–––– xy+yz+zx = 0$
จาก (i) ได้ว่า $2x^2+2y^2+2z^2+4(xy+yz+zx) = 0$ (ตรงนี้จะแทนค่าลงแล้วสรุปหรือทำต่อไปก็ได้) -----(iv)
$(iv)-6(iii) \rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$ (นำไปแก้ใน(i) ก็จะได้เท่าเดิม)

$\therefore$ สมการนี้ไม่มีคำตอบครับ

[Math Khwan]

ข้อ1)ขี้เกียจพิมพ์ครับแสกนมาให้
วันที่ 5 เมษานี้ทุกคนไปมอบตัวด้วยครับ^^"

ปล.มันอาจจะไม่ชัดเพราะลดขนาดรูปลงเยอะเพ่งๆเอาแล้วกันครับ - -*
ใครจะกรุณาพิมพ์ให้ผมขอขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

[Platootod]

ข้อ 2 ยั่วใจมากคับ
$x+y+z=\frac{4}{3}$
$x^2+y^2+z^2=\frac{-14}{10}$
$x^3+y^3+z^3=\frac{-166}{30}$
$x^4+y^4+z^4=\frac{739}{9}$
สูตรหาผลบวก$x^n+y^n+z^n=as_{n-1}-bs_{n-2}+cs_{n-3}$
เมื่อ$n\geqslant 3$และเมื่อ$0\leqslant n\leqslant 2=a^2-2b$
และ$a=x+y+z,b=xy+xz+yz,c=xyz, s_n=x^n+y^n+z^n$
ที่เหลือก็คิดเองn