Laplace & Reverse LaplaceTransformation

[NNA-MATH]

ผมเป็นมือใหม่น่ะครับ ช่วยแสดงวิธีการหาผลการแปลงลาปลาซผกผันของ 4 ข้อนี้หน่อยครับ
1. $\frac{s^3+3s^2-s-3}{(s^2+2s+5)^2}$
2. $\frac{s^2-4}{(s^2+4)^2}$
3. $\frac{1}{s^2}(e^{-4s}-e^{-7s})$
4. $\frac{1-e^{-\pi s}}{s^2+1}$


จงหาการแปลงลาปลาซของ $cos(t) \cdot \delta (t-a)$ [$\delta$ คือ ฟังก์ชันแรงดล 1 หน่วยน่ะครับ]


ส่วนข้อนี้ มีวิธีการอื่นนอกจากเปลี่ยนช่วงการอินทิเกรตเป็น [0,$\infty$) ลบกับ [$\pi$, $\infty$) ไหมครับ
$$\int _\pi ^\infty e^{-4t}sint dt$$

[nooonuii]

พวกนี้มีสูตรให้ใช้นี่ครับ ลองจัดรูปให้เข้าสูตรก็ได้แล้วครับ แต่สองข้อแรกคงต้องแยกเศษส่วนย่อยออกมาก่อน

ที่ยากจริงๆน่าจะเป็นข้อสุดท้ายน่ะครับ ลองเปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $u=t-\pi$ จะได้

$\int _\pi ^\infty e^{-4t}sint dt=\int_0^{\infty}e^{-4u-4\pi}\sin(u+\pi)du$

$=-e^{-4\pi}\int_0^{\infty}e^{-4u}\sin u du$

ซึ่งตัวปริพันธ์หาได้จากสูตรการแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน $\sin t$

แล้วแทน $s=4$ ลงไปครับ

[NNA-MATH]

อ่อ ครับ
ส่วน $cost \cdot \delta(t-a)$ นี่มีสมบัติการ shift เอา $\delta$ ออกมาก่อนไหมครับ หรือว่า มีสูตรสำเร็จเลย คือผมทราบแต่ว่า $L${$\delta (t-a)$} $= e^{-as}$ น่ะครับ
ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NNA-MATH

อ่อ ครับ
ส่วน $cost \cdot \delta(t-a)$ นี่มีสมบัติการ shift เอา $\delta$ ออกมาก่อนไหมครับ หรือว่า มีสูตรสำเร็จเลย คือผมทราบแต่ว่า $L${$\delta (t-a)$} $= e^{-as}$ น่ะครับ
ขอบคุณมากครับ

เพื่อให้เข้าใจตรงกัน $\delta(t-a)$ นี่เป็น impulse หรือ unit step function ครับ

[NNA-MATH]

impulse ครับ

[nooonuii]

ใช้สูตรนี้ได้ครับ

$L\{\delta(t-a)F(t)\}=e^{-as}F(a)$

[NNA-MATH]

อ่อครับ ขอบคุณครับๆ

[NNA-MATH]

ถ้าอย่างงั้น ข้อนี้
$L\left\{cos(t) \cdot \delta(t-a) \right\} = e^{-as}\cdot cos(a)$
ถูกต้องไหมครับ
(คือ ไม่ต้องแปลงลาปลาซของ cos(t) อีกแล้วใช่ไหมครับ )

[nooonuii]

ใช่ครับ ซึ่งสูตรจะต่างจากของ unit step function ที่ต้องแปลง $\cos t$ ก่อน