#1
|
||||
|
||||
ตรีโกณ ครับ
กำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC มี $\frac{sin A}{sin B} =\sqrt{2}$ และ $\frac{tan A}{tan B} =\sqrt{3}$
จงหาค่าของ A,B คือผมทำออกมาแล้วไม่ได้อ่ะครับ ขอวิธีทำแบบการจัดรูปนะครับแบบนี้ $cos^2 B = x$ $sin^2 B = 1 - x$ $tan^2 B =\frac{1-x}{x}$ $sin^2 A=2-2x$ $tan^2 A = \frac{3-3x}{x}$ $ส่วน cos^2 A = \frac{2x}{3}$ ผมเหลือแค่หา x อ่ะครับแต่ถ้าแทนลงไปในสมการ $\frac{sin A}{sin B} =\sqrt{2}$ $\frac{tan A}{tan B} =\sqrt{3}$ มันจะได้คำตอบแบบนี้อ่ะครับ 2=2 เพื่อนบอกว่าให้หาจาก $sin^2 A +cos^2 A = 1$ แล้วจะได้ แต่ผมยังงอยู่ทำไมต้องหา x จาก $sin^2 A +cos^2 A = 1$ ครับแต่รู้คำตอบแล้ว อยากจะหายงง |
#2
|
||||
|
||||
$sin^2A=2sin^2B$
$cos^2A=\frac{2}{3}cos^2B $ $2sin^2B+\frac{2}{3}cos^2B=1$ $2(1-cos^2B)+\frac{2}{3}cos^2B=1$ $6-4cos^2B=3$ $3-4c0s^2B=0$ $(\sqrt{3}-2cosB )(\sqrt{3}+2cosB)=0$ โจทย์กำหนดให้$B$ เป็นมุมในสามเหลี่ยม ดังนั้นค่า $cosB$ ไม่เกิน 180 องศา เป็นมุมแหลมก็ได้ มุมป้านก็ได้ $cosB=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $ $sinB=\frac{1}{2} $ ดังนั้นมุม $B$ เป็นได้ทั้ง $30$ หรือ $150$ องศา แต่เราตัดมุม $150$ องศาออกเพราะบวกกับค่ามุม$A$ ที่หาได้แล้ว เกิน$180$ องศา $sinA=\frac{1}{\sqrt{2} } $ $cosA=\pm \frac{1}{\sqrt{2} }$ ดังนั้นมุม $A$ เป็นได้ทั้ง $45$ หรือ $135$ องศา แต่เราตัดมุม $135$ องศาออกเพราะบวกกับค่ามุม$B$ ที่หาได้แล้ว เกิน$180$ องศา ดังนั้นค่าของมุม$A,B$ ที่สอดคล้องกับโจทย์คือ $45,30$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 20 เมษายน 2011 22:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#3
|
||||
|
||||
ข้อที่ 2 นะครับ
กำหนดให้ $tan A + sin A =m,tan A-sinA=n$ จงแสดงว่า $m^2-n^2=4\sqrt{mn}$ |
#4
|
||||
|
||||
$mn = tan^2 A - sin^2 A$
$ = sin^2 A(\frac{1}{cos^2 A} - 1 )$ $ = sin^2 A(\frac{1-cos^2 A}{cos^2 A})$ $ = sin^2 A$ $tan^2 A$ $m + n = 2 tan A$ $m - n = 2 sin A$ $m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$ $= (2 tan A) (2 sin A)$ $= 4 sin A$ $tan A$ $ = 4 \sqrt{mn}$ |
|
|