โจทย์แบบนี้น่าสนนะครับ

[Julian]

$ จงหาจำนวนสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่สอดคล้อง $

$ - \ มีด้านทุกด้านยาวเป็นจำนวนที่มีเลขหลังจุดทศนิยมได้ไม่เกิน 1 ตำแหน่ง เช่น 2.5 , 4 , 8.6 $

$ - \ ผลบวกระหว่างด้านที่ติดทศนิยมสองด้านเป็นจำนวนเต็มเสมอ $

$ - \ มีด้านใดด้านหนึ่งยาว \ 2009 \ หน่วย \ $

<แนะ>

จากทบ.พิทากอรัสจะได้ว่า $ \ a^2 \ + \ b^2 \ = \ c^2 $

เมื่อ a , b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

<ปล.>

ตอนแรกกะส่งข้อนี้ไปยัง Mathcenter Contest รอบต่อไป

แต่เนื่องจากเค้างดของเดือนมกรา - มีนา เลยตัดสินใจไม่ส่งมันล่ะ

เลยเอามาโพสต์ไว้ที่นี่แทน

แน่นอนว่าโจทย์ข้อนี้ $ไม่ได้$ ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตแบบเดียว แต่ประยุกต์ทั้ง

พีชคณิต เรขาคณิต และเลขคณิต ด้วยนะครับ

อีกอย่าง ผมอยากจะถามพี่ๆว่า

ข้อนี้ยากเกินไปรึเปล่าครับพี่ ผมโดนต่อว่ามาหลายรอบล่ะ

[Julian]

<solution (1/2)>

1. ให้ด้านสั้นหรือสั้นที่สุดเป็น 2009

จากทบ.พิทากอรัส จะได้

$c^2 \ = \ 2009^2 \ + \ b^2$

$c^2 \ - \ b^2 \ = \ 2009^2$

$( \ c-b \ )( \ c+b \ ) \ = \ 2009^2$

$( \ c+b \ ) \ = \ \frac{2009^2}{c-b}$

จากข้อสอง c+b เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น c-b หาร 2009 ลงตัว....

ต่อเองนะครับ ว่ามีกี่ตัว และมีกี่ตัวที่ไม่สอดค้อง

2. ให้ด้านยาวที่สุดเป็น 2009

พิจารณา $2009^2 \ = \ {(7^2)(41)}^2$

$2009^2 \ = \ 7^4 \cdot 41^2$

$ = 7^4( \ 9^2 \ + \ 40^2 \ )$

$ = ( \ 49\cdot 9 \ )^2 + ( \ 49\cdot 40 \ )^2....(1) $

จาก $ 2009^2 \ = \ 7^4 \cdot 41^2 $

เราเทียบอัตราส่วนสามเหลี่ยมุมฉาก $x,\frac{x^2-1}{2},\frac{x^2+1}{2}$

จะได้ สามเหลี่ยมอีก .... จำนวน

นำจำนวนจากกรณีแรกมาบวกกับกรณีที่สองจะได้ทั้งสิ้น .... จำนวน

หลายคนเห็นแล้วต้องอึ้ง

เพราะไม่ได้ใช้ทฤษฎีบ้าบออะไรเลย ที่มันเกินหลักสูตร

[Angle Sci]

เวรกรรมไปหาโจทย์ ไปหาโจทย์จากไหนดูแล้วยากชะมัดเลย ก้อไม่เคยทำโจจจจจทย์เรขาประยุกต์ยากอย่างเนี่ย ไม่เคยเห็นด้วยซ้ำ(เด้กในกะลาคอบจิงๆเลยเรา)

[Julian]

ผมเป็นคนคิดเองครับ

ผมเคยคุยกับครูว่า ถ้าเอาข้อนี้ไปลง โอลิมปิก กับ สอวน. จะเกิดอะไรขึ้น

ผมโดนด่ากลับเลยครับ ว่าไม่มีทางได้ลง

ยากเกินไป!!... คิดว่าจริงไหมครับ?? ผมว่าจริง!!