Cnr ช่วยหน่อยครับ โจทย์โรงเรียน

[เทพเวียนเกิด]

จงหาค่าของ $\binom{r}{0} \binom{s}{n}$ + $\binom{r}{1} \binom{s}{n-1}$ + $\binom{r}{2} \binom{s}{n-2}$ + ... + $\binom{r}{n} \binom{s}{0}$

[Beatmania]

ลองพิจารณา สปส. ของ $x^n$ ในสองแบบครับ

"$(1+x)^s(1+x)^r$" กับ "$(1+x)^{r+s}$" ^O^

[polsk133]

มีชายrคนหญิงsคนเลือกมาnคน

[เทพเวียนเกิด]

ขอบคุณมากครับ เป็นความรู้ใหม่สำหรับเด็ก ป.6 อย่างผมครับ

[Euler-Fermat]

โห เด็ก ป 6 เขาเรียนกันอย่างงี้แล้ว หรอครับ
โจทย์ เด็ก ป 6 เทียบกับ สอวน ค่ายแรก โหดมากครับ

[Keehlzver]

มันคือเอกลักษณ์เลือกคนครับ ผมจะเล่านิทานให้ฟัง

1.มีคนอยู่สองกลุ่มกลุ่มแรกมีอยู่ $r$ คน กลุ่มที่สองมีอยู่ $s$ คน เราจะเลือกมา $n$ คน ซึ่งทำได้ $\binom{r+s}{n}$ วิธี
2.เราจะแบ่งคน $r+s$ คนออกเป็น $2$ กลุ่มละ $r$ และ $s$
3.เราจะเลือกคนจากกลุ่ม $r$ ออกมาก่อน $k$ คน แต่เราต้องการเลือกให้ครบ $n$ คน เพราะฉะนั้นเราต้องเลือกคนจากกลุ่ม $s$ อีก $n-k$ คน
4.เลือก $k$ คน จาก $r$ คนทำได้ $\binom{r}{k}$ วิธี เลือก n-k คนจาก $s$ คนทำได้ $\binom{s}{n-k}$ จากกฎการคูณ ทำได้ $\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}$ วิธี
5. เมื่อ k=0 แทน ไม่เลือกเลยจากกลุ่มแรก ต้องเลือกกลุ่มหลัง n คน ก็ทำได้ $\binom{r}{0}\binom{s}{n}$
เมื่อ k=1 แทน เลือก 1 คนจากกลุามแรก ต้องเลือกกลุ่มหลัง n-1 คน ก็ทำได้ $\binom{r}{1}\binom{s}{n-1}$ เช่นนี้เรื่อยไป
6.ไม่มี overcounting (นับเกิน) เพราะว่า r+s คน r คน และ s คน เป็นของที่แตกต่างกันทั้งหมด และแบ่งกลุ่มชัดเจนครับ

เพราะฉะนั้นข้อนี้ตอบ $\binom{r+s}{n}$ ครับ

[เทพเวียนเกิด]

ขอบคุณสำหรับทุกความเห็นครับ

[kongp]

สงสัย ป.6 ที่ว่า เป็น เด็กเทพ (กรุงเทพ)