สอบถามวิธีคิดโจทย์ 3 ข้อครับ

[Hutchjang]

รบกวนสอบถามวิธีคิด โจทย์ 3 ข้อ ครับ

ข้อ 19. ตอบ 13
ข้อ 21. ตอบ (2,2),(2,1),(1,2),(0,1),(1,0)
ข้อ 24. ตอบ 385

[NaPrai]

สอบถามนิดหน่อยครับ
ข้อ 19 นี่ $x,y$ เป็นจำนวนจริงหรือเปล่าครับ
ข้อ 24 $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ หรือเปล่าครับ

[Hutchjang]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

สอบถามนิดหน่อยครับ
ข้อ 19 นี่ $x,y$ เป็นจำนวนจริงหรือเปล่าครับ
ข้อ 24 $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ หรือเปล่าครับ

โจทย์ มีข้อมูลให้แค่นั้น แล้วก็คำตอบตามข้างบนอ่ะครับ แต่เข้าใจว่าใช่ตามที่คุณ Naprai ถามมาอ่ะครับ

[NaPrai]

ข้อ 24 โจทย์น่าจะผิดครับเพราะถ้าแทนค่า $x=2$ กับแทนค่า $x=\frac{1}{2}$ จะได้สมการที่ขัดแย้งกันเอง

[NaPrai]

ข้อ 19 อันนี้ผมมีสองวิธีด้วยกันครับ แต่เอาจริงสองวิธีนี้ก็ค่อนข้างคล้ายคลึงกัน ลองดูนะครับ

ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์

ถ้าสังเกตดี ๆ $f(x,y)$ คือ ความยาวของ $PA+PB$ เมื่อ $P=(x,y), A=(1,0), B=(6,12)$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเชียน

ทีนี้ก็เลยได้ไม่ยากว่า $f(x,y)$ ก็จะมีค่าน้อยที่สุดก็เมื่อจุด $P$ อยู่บน $\overline{AB} $ ซึ่งจะทำให้ $f(x,y)$ มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับความยาวของ $\overline{AB} $ ซึ่งก็คือ $13$ นั่นเองงง

ใช้อสมการ

โดย อสมการ Minkowski จะได้ว่า \begin{align*}\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(6-x)^2+(12-y)^2}\ge \sqrt{[(x-1)+(6-x)]^2+[y+(12-y)]^2}=13\end{align*}โดยเงื่อนไขการเป็นสมการก็จะเหมือนกับวิธีที่ 1 ครับ

[NaPrai]

ข้อ 21

สังเกตนิดหน่อยว่า $(p+q)^2=p^3+q^3$ ก็คือ $(p+q)(p^2-pq+q^2-p-q)=0$ ดังนั้นคำตอบนึงแน่ ๆ ก็คือ $\boxed{(p,q)=(k,-k) \ \forall k \in \mathbb{Z}}$ แล้วถ้าอีกเคสล่ะ? ก็คือกรณีที่ $p^2-pq+q^2-p-q=0$ อันนี้ก็ไม่ยากครับถ้าเราใช้ความรู้เกี่ยวกับสมการพหุนามดีกรีสองนิดหน่อย ลองปรับสมการโดยพิจารณาให้ $p$ เป็นตัวแปร ก็จะได้ว่า \begin{align*}p^2-(q+1)p+(q^2-q)=0\end{align*} ซึ่งสมการนี้มีจำนวนจริงเป็นคำตอบ ทำให้ได้ว่าค่าดิสคริมิแนนท์ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นั่นคือ \begin{align*}(q+1)^2-4(q^2-q) \ge 0 \ หรือก็คือ \ (q-1)^2 \le \frac{4}{3}\end{align*}นั่นก็หมายความว่าเป็นการเพียงพอที่จะตรวจสอบเฉพาะ $q$ มีค่าเท่ากับ $0,1,2$ ทีนี้ก็เชคเรียงตัวโดยเอาไปแทนค่าในสมการ $p^2-(q+1)p+(q^2-q)=0$ นั่นหละ
ก็จะได้คำตอบคือ $\boxed{(p,q)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)}$

นำสองคำตอบนี้มารวมกันก็จะได้ว่าคำตอบทั้งหมดคือ $(p,q)=(k,-k)\ \forall k\in\mathbb{Z}$ และ $(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)$

[Hutchjang]

ขอบคุณ คุณ Naprai มากๆครับ

[Hutchjang]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

ข้อ 24 โจทย์น่าจะผิดครับเพราะถ้าแทนค่า $x=2$ กับแทนค่า $x=\frac{1}{2}$ จะได้สมการที่ขัดแย้งกันเอง

ข้อนี้ ตามแนวคิดที่คุณ Naprai บอกมา ถ้าเราแก้โจทย์ใหม่ จาก $x^2-1$ มาเป็น $x^2+1$ แทน ก็จะไม่ขัดแย้งแล้ว และผมสังเกตว่า $f(x)$ = $x^2$ เลย แต่ในวิธีทำ เราควรทำอย่างไร ถึงจะสรุปว่ามันเท่ากันได้ครับ

[NaPrai]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hutchjang

ข้อนี้ ตามแนวคิดที่คุณ Naprai บอกมา ถ้าเราแก้โจทย์ใหม่ จาก $x^2-1$ มาเป็น $x^2+1$ แทน ก็จะไม่ขัดแย้งแล้ว และผมสังเกตว่า $f(x)$ = $x^2$ เลย แต่ในวิธีทำ เราควรทำอย่างไร ถึงจะสรุปว่ามันเท่ากันได้ครับ

อืมถ้าเป็นแบบนี้จริง ตามที่ผมคิดได้มันมี $f$ ที่สอดคล้องเยอะมาก ๆ ซึ่ง $f(1)+f(2)+...+f(10)$ ก็มีค่าที่เป็นไปได้เยอะมาก ๆ เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น $f(x)=1$ อันนี้ก็สอดคล้องกับโจทย์

[Hutchjang]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

อืมถ้าเป็นแบบนี้จริง ตามที่ผมคิดได้มันมี $f$ ที่สอดคล้องเยอะมาก ๆ ซึ่ง $f(1)+f(2)+...+f(10)$ ก็มีค่าที่เป็นไปได้เยอะมาก ๆ เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น $f(x)=1$ อันนี้ก็สอดคล้องกับโจทย์

จริงด้วยครับ ขอบคุณมากเลยนะครับ
พอดีข้อนี้โจทย์มันมีคำตอบมาว่าเท่ากับ 385 ผมเลยจะพยายามเดากลับไปว่า โจทย์ที่ถูกต้องมันคืออะไรอ่ะครับ