ใครมีข้อสอบ Pat 1 ของปีนี้ (ธันวาคม 2554)บ้างครับ

[deaddavil]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิมพ์อะไรผิดหรือเปล่าครับ

แก้แล้วครับ ขอบคุณครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ deaddavil

กำหนดให้ S = {a,b,c}เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ที่ a + 2b + 3c น้อยกว่าหรือเท่ากับ 50
และ a/b +a/c + 1 = 10(b/c + b/a + 1) , จงหาจำนวนสมาชิกของ S
คิดยังไงครับ ขอบคุณครับ

โจทย์เป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ

กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก

$S=\left\{(a,b,c)| a+2b+3c\leqslant 50 , \dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c} +1 = 10(\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+1)\right\} $

จงหาจำนวนสมาชิกของ S


$\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c} +1 = 10(\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+1) $

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c} +\dfrac{a}{a} = 10(\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{b} ) $

$a(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{a}) = 10b(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b} ) $

$a=10b$

$a+2b+3c\leqslant 50$

$10b+2b+3c\leqslant 50$

$12b+3c\leqslant 50$

$c\leqslant \frac{50-12b}{3} $

$b=1\rightarrow c\leqslant 12\rightarrow (a,b,c)=(10,1,1),(10,1,2),...,(10,1,12)$

$b=2\rightarrow c\leqslant 8\rightarrow (a,b,c)=(20,2,1),(20,2,2),...,(20,2,8)$

$b=3\rightarrow c\leqslant 4\rightarrow (a,b,c)=(30,3,1),(30,3,2),...,(30,3,4)$

$b=4\rightarrow c\leqslant 0$

$\therefore n(S)=24$

[แม่ให้บุญมา]

2. กำหนดจำนวนจริงบวก $a,b,\theta$ โดยที่ $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} $ ซึ่ง $\tan\theta=\dfrac{a}{b}$ และ

$\Big( \dfrac{\cos\theta}{a} \Big)^4+\Big( \dfrac{\sin\theta}{b} \Big)^4=\dfrac{\sin 2\theta}{ab(a^2+b^2)}$ แล้ว จงหาค่าของ $\Big( \dfrac{3a}{b} \Big)^3+\Big( \dfrac{b}{2a} \Big)^2$

วิธีทำ
จาก $\tan\theta=\dfrac{a}{b}$ จะได้$\sin\theta=\dfrac{a}{\sqrt{(a^2+b^2)}}$, และ $\cos\theta=\dfrac{b}{\sqrt{(a^2+b^2)}}$
และเนื่องจาก $\sin{2\theta}=2\sin\theta \cos\theta$
ดังนั้นจะได้
$\dfrac{b^4}{a^4(a^2+b^2)^2} + \dfrac{a^4}{a^4(a^2+b^2)^2}=\dfrac{2ab}{ab(a^2+b^2)^2} $
$\dfrac{b^4}{a^4} + \dfrac{a^4}{b^4}=2$
$(\dfrac{a}{b})^8 -2(\dfrac{a}{b})^4+1=0 $
$\dfrac{a}{b}=\pm 1 $
ดังนั้น $\Big( \dfrac{3a}{b} \Big)^3+\Big( \dfrac{b}{2a} \Big)^2=27+\dfrac{1}{4} ,-27+\frac{1}{4}$
= 27.25, -26.75

ลืมดูว่ามีเงือนไขเพิ่มเติม ที่ทำให้ค่า tan เป็น บวกเท่านั้น ในไฟล์ที่คุณ TimeTimefruit รวบรวมไม่มีเงื่อนไขนี้ ดังนั้น ถ้ามีเงื่อนไขนี้ก็จะมีคำตอบเดียว คือ 27.25

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 22 กำหนดให้จุด P อยู่บนวงกลม $x^2 +y^2+2x-4y-15=0$ และอยู่ใกล้กับจุด A(1,3) มากที่สุด จงหาระยะห่างจากจุด P ไปยังเส้นตรง $3x-4y=15$

วิธีทำ วงกลมนี้จัดรูปได้เป็น $(x+1)^2+(y-2)^2=20\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=(2\sqrt{5} )^2
$
หรือวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(-1,2) มีรัศมี $2\sqrt{5}$ หน่วย
จุด P(x,y) บนเส้นรอบวงอยู่ใกล้ A(1,3) มากทีสุด ก็ต่อเมื่อ เส้นเชื่อม CAP เป็นเส้นตรงเดียวกัน
ู
$CA=\sqrt{(-1)^2+2^2} =\sqrt{5} $
จากอัตราส่วนของด้านในแนวเดียวกัน ของสามเหลี่ยมรูปคล้าย CP คือรัศมีของวงกลมนั่นเองจะได้
เราจะได้ $ \frac{CP}{CA} =\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2= \frac{x+1}{1+1}=\frac{y-2}{3-2}$

และหาได้ว่าตำแหน่งจุด $ P(x,y)=(2\times 2-1, 2\times 1+2)=P(3,4)$

รุะยะห่าง จาก จุด x,y มายังเส้นตรง -4x +3y-15 =0
เท่ากับ $\frac{|-4x+3y-15|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}} $
จากจุด P(3,4) จะห่าง =$\frac{|-4\times 3 +3\times 4-15|}{5} =\frac{15}{5}=3 $

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 30
"คน 12 คนนั่งโต๊ะกลม จงหาความน่าจะเป็นที่นาย GAT และนาย PAT ไม่นั่งติดกัน"

จัดให้คน 10 คนเข้านั่งโต๊ะกลมได้ (10-1)! วิธี
จัดให้นาย GAT และนาย PAT ไปนั่งแทรก 10 คนนั้น ได้ 10 และ 9 ตำแหน่ง(วิธี)ตามลำดับ
จำนวนวิธีรวมที่ทั้งสองคนไม่นั่งติดกันในโต๊ะกลมนี้จึง =n(E)=9!x10x9=10!x9 วิธี
จำนวนวิธีที่จัดให้คนทั้ง 12 คนนั่งโต๊ะกลม = n(S)= (12-1)!=11!
p(E)=n(E)/n(S) = 9/11

[แม่ให้บุญมา]

41. กำหนดให้ a(1,1)=10, a(2,1)=5 a(4,1)=4, a(4,4)=50 และ a(m,n)=a(m,n-1) + a(m-1, n-1) จงหาค่าของ a(3,1)
วิธีทำ
a(2,2) = a(2,1) + a(1,1)
a(4,4) = a(4,3) + a(3,3)
a(4,3) = a(4,2) + a(3,2)
a(3,3) = a(3,2) + a(2,2)
a(4,2) = a(4,1) + a(3,1)
a(3,2) = a(3,1) + a(2,1)
a(3,2) = a(3,1) + a(2,1)
เอาสมการทั้งหมดบวกกันได้
a(2,2)+ a(4,4)+ a(4,3)+ a(3,3)+ a(4,2)+ 2a(3,2) =
a(2,1)+ a(1,1)+ a(4,3)+ a(3,3)+ a(4,2)+a(3,2)+ a(3,2)+a(2,2)+ a(4,1)+ a(3,1)+ 2a(3,1)+2a(2,1)
แทนค่าที่กำหนดได้
a(2,2)+ 50+ a(4,3)+ a(3,3)+ a(4,2)+ 2a(3,2) = 5+ 10+ a(4,3)+a(3,3)+ a(4,2)+ 2a(3,2)+a(2,2)+ 4+ 3a(3,1) + 2x5
พจน์เหมือนกันหักล้างกันไปเหลือ
50 = 3a(3,1) + 29
a(3,1) = 7

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ผมชอบข้อนี้มากเลย ถ้าใครรู้จัก Cauchy Equation จะมองออกทันที

Solution ธรรมดา

แทน $x=y$ ในสมการพบว่า $f(2x)=2f(x)+4x^2$

ดังนั้น $f(4x)=2f(2x)+16x^2=4f(x)+24x^2$

ทำให้ $f(20)=4f(5)+24 \cdot 25$ เก็บเอาไว้ก่อน

$f(5)=f(1)+f(4)+4(1)(4)=f(4)+20$

แต่ $f(4)=4f(1)+24(1)^2=40$ ดังนั้น $f(5)=60$

ตัวที่เก็บไว้ก็จะได้ต่อว่า $f(20)=240+600=840$ #

Solution โดยใช้สมการโคชี

สร้าง $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ นิยามโดย $g(x)=f(x)-2x^2$

จากสมการเดิมจึงได้ $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ดังนั้น $g(x)=cx$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{Z}$

ทำให้ $f(x)=2x^2+cx$ แล้วแทนเงื่อนไข $f(1)=4$ ได้ $f(x)=2x^2+2x$

ดังนั้น $f(20)=2(400)+2(20)=840$ #

ผมลองอีกวิธีหนึ่งครับ
ถ้าสมมุติให้ f(x)=Ax²+Bx+C แทนค่า x ด้วย x+1 จะได้
f(x+1)-f(x)=2Ax+(A+B) เทียบสัมประสิทธิ์กันกับ
f(x+1)-f(x)= 4x+ 4 ที่ได้จากการแทนค่า y=1 จะได้ A=2, B=2 และแทนค่า
f(1)=4=2x1²+2x1+C จะได้ C=0
แล้วจะได้สมการทั่วๆไปเป็น f(x)= 2x²+2x

แต่ Cauchy Equation ก็น่าสนใจศึกษาไว้เหมือนกันครับ คงต้องไปหาอ่านเพิ่มเติม

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ผมขอข้อสอบ pat ของที่สอบไปล่าสุดอ่ะครับ แต่ขอบคุณมากๆนะครับ

ไม่ทราบว่าได้แต่ผลสอบ หรือได้เนื้อข้อสอบด้วยครับ

[แม่ให้บุญมา]

ที่เหลือจาก จำนวน 41 ข้อนั้น ผมได้พยายามเฉลยเพิ่มขึ้นตามความรู้อันจำกัด แต่ไม่ค่อยได้มาโพสต์เพิ่มที่นี่ เพราะโจทย์อาจจะง่ายไม่ท้าทายสำหรับผู้รู้ที่นี่ และเกรงว่าจะใช้เนื้อที่ที่นี่มากเกินไป แต่เพื่อช่วยเหลือนักเรียนม.ปลายทั่วๆไป ผมจึงไปโพสต์ใน group ใน facebook ของผมแทนที่
http://www.facebook.com/groups/399935686699873/
ท่านผู้รู้อาจจะแวะไปดูเผื่อเจอที่ผมเฉลยผิด ก็ช่วยท้วงติงด้วยครับ นักเรียนจะได้ไม่จำผิดๆกันไป ผมก็อาศัยความรู้จากที่นี่แหละไปขยายต่อ

ขอบคุณ webboard ที่นี่ที่ให้ความรู้เป็นวิทยาทานแก่ผมและคนทั่วไปที่สนใจคณิตศาสตร์มาโดยตลอดครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 33 กำหนดให้ $S=\left\{a,b,c\,\right\} $ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่ $a+2b+3c\leqslant 50$
และ $\frac{a}{b} + \frac{a}{c}+1 = 10(\frac{b}{c} + \frac{b}{a}+1) $ , จงหาจำนวนสมาชิกของ S

จากสมการ หา ครน ของตัวหารแต่ละข้างได้
$\frac{ac+ab+bc}{bc} =10(\frac{ab+bc+ac}{ac}) $ เศษเหมือนกันตัดกันไปจะได้ $a=10b$
ไปแทนที่ในอสมการจะได้
$10b+2b+3c=12b+3c\leqslant 50$
ลองแทนค่าต่างๆของ b เอาเฉพาะจำนวนเต็มบวกจะได้
$b=1, c\leqslant 12$
$b=2, c\leqslant 8$
$b=3, c\leqslant 4$

นั่นคือ
$ S=\left\{(10),(1),(1,2,3,..,12)\,\right\}\cup \left\{(20),(2),(1,2,..,8)\,\right\} \cup \left\{(30),(3),(1,2,3,4)\,\right\} $

มาถึงขั้นนี้ ไม่รู้ว่า เขียน set S ถูกรูปแบบไหม และจะนับจำนวนสมาชิกได้ของ S ตามที่โจทย์ต้องการ ได้อย่างไร วานผู้รู้ช่วยทีครับ

[แม่ให้บุญมา]

ได้คำตอบจาก อาจารย์ คณิต มงคลพิทักษ์สุข ว่าจำนวนสมาชิกของ S สำหรับค่า b=1,2,3 คือ 12+8+4= 24
ส่วนรูปแบบของ S= ใช้แบบ U เข้าด้วยกันทีแสดงไม่ถูกต้อง อาจารย์อธิบายดังนี้

การยูเนียนไม่ได้ใช้ในความหมายของการแจกแจงจำนวนแบบที่ต่างกันครับผม // ถ้าเขียน S = การยูเนียนกันของเซตต่างๆ ดังกล่าว จะทำให้มี S เกิดขึ้นได้แบบเดียว(ตายตัว)

[แม่ให้บุญมา]

ผมลองเขียน set S สำหรับข้อ 33 ใหม่ดังข้างล่างนี้ เป็นรูปคู่อันดับ ไม่ทราบว่าถูกหลักเกณฑ์หรือไม่ หรือควรเป็นรูปอื่น ช่วยแนะนำด้วยครับ
S={(a,b,c)|a=10b;b=1,c=1,2,..,12;b=2,c=1,2,..,8;b=3,c=1,2,3,4} หรือ
S={(10,1,1),(10,1,2),..,(10,1,12)}U{(20,2,1),(20,2,2),..,(20,2,8)}U{(30,3,1),(30,3,2),..,(30,3,4)}

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ผมลองเขียน set S สำหรับข้อ 33 ใหม่ดังข้างล่างนี้ เป็นรูปคู่อันดับ ไม่ทราบว่าถูกหลักเกณฑ์หรือไม่ หรือควรเป็นรูปอื่น ช่วยแนะนำด้วยครับ
S={(a,b,c)|a=10b;b=1,c=1,2,..,12;b=2,c=1,2,..,8;b=3,c=1,2,3,4} หรือ
S={(10,1,1),(10,1,2),..,(10,1,12)}U{(20,2,1),(20,2,2),..,(20,2,8)}U{(30,3,1),(30,3,2),..,(30,3,4)}

เป็นแบบนี้น่าจะดูดีขึ้นนะครับ.

$S = \{ (a, b, c) \in I^+ \times I^+ \times I^+ | (a = 10$ และ $b= 1$ และ $c \le 12)$ หรือ $(a = 20$ และ $b= 2$ และ $c \le 8)$ หรือ $(a = 30$ และ $b= 3$ และ $c \le 4) \}$

หรือ

$S = \{ (10b, b, c) \in I^+ \times I^+ \times I^+ | (b= 1$ และ $c \le 12)$ หรือ $(b= 2$ และ $c \le 8)$ หรือ $(b= 3$ และ $c \le 4) \}$

[แม่ให้บุญมา]

ขอบพระคุณมากครับ และจะขออนุญาตินำไปอ้างอิง

[kidhaza]

ผมไม่ค่อยเก่งอะครับ ช่วยตรวจหน่อยนะครับ ขอบคุณมากครับ

ข้อ 24.

$\frac{3}{2}.\frac{2^{sinA}}{3^{sinA}} = {(\frac{9}{4})}^{cos^2A}$

${(\frac{2}{3})}^{sinA-1}={(\frac{2}{3})}^{-2cos^2A}$

$ sinA-1=-2(1-sin^2A) $

$2sin^2A-sinA-1=0$

$sinA= \frac{-1}{2}$
ตอบ 3

ข้อ 29. ได้ $-6\overrightarrow{i} +3\overrightarrow{j} $



ข้อ 31 0.8

ข้อ 39 17