โจทย์ จำนวนเชิงซ้อนยากช่วยทีครับ

[peemingsssss]

กำหนดZเป็นจำนวนเชิงซ้อน เเละ lZ-2i l=1 จงหาค่าmaximumของarg(Z)

[Amankris]

Hint

ลองดูวงกลมหนึ่งหน่วย จุดศูนย์กลาง $(0,2)$

[Oriel]

ให้ $\;z=x+yi$ และ $y=xtan\theta,\quad\theta=\rm{arg}(z) $
จาก$\;|z-2i|=1$
จะได้

$$\begin{array}{rcl}
x^2+(y-2)^2&=&1\\
x^2+(x\tan\theta-2)^2&=&1\\
x^2+x^2\tan^2\theta-4x\tan\theta+4-1&=&0\\
(1+\tan^2\theta)x^2-(4\tan\theta)x+3&=&0\\
\because \rm{discriminant}=b^2-4ac\geqslant 0\\
\therefore (-4\tan\theta)^2-4(1+\tan^2\theta)\times 3&\geqslant &0\\
16\tan^2\theta-12-12\tan^2\theta&\geqslant& 0\\
4\tan^2\theta&\geqslant &12\\
\tan^2\theta&\geqslant &3\\
\therefore \tan\theta\geqslant \sqrt{3} &\vee& \tan\theta\leqslant -\sqrt{3}
\end{array}$$

จะได้ค่ามากสุดของ $\arg(z)=\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$
แต่ผมลองเช็คดูแล้วพบว่าผมทำผิด (คำตอบที่ถูกน่าจะเป็น$\frac{7\pi}{6}$)
ผมทำผิดขั้นตอนไหนหรอครับ?

[art_clex]

arctan เป็นฟังก์ชันที่นิยามให้เรนจ์อยู่แค่ $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ แต่มุมที่ทำให้ค่า tan เป็น $\sqrt{3},-\sqrt{3}$ ไม่ได้มีอยู่แค่ $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

ถ้าตาม Hint ของ Amankris ลองวาดรูปดู จะเห็นเลยว่า z อยู่ได้ไม่กี่ควอตแดรนต์