พิสูจน์ series ช่วยด้วยครับ

[The Cro_no]

1 จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sin(n)}{n} = \frac{1}{2} (\pi-1) $$

2 จงให้พิสูจน์ว่า
$$ \int_{0}^{1}\ \frac{ln(1+x)}{x} dx = \frac{\pi^2}{12} $$

เริ่มไม่เป็นเลยครับ
ขอบคุณมากคับ

[passer-by]

ข้อ 1 ลองใช้ Fourier series มาช่วยสิครับ

หา f(x) ที่มี Fourier representation เป็น $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$

ข้อ 2 ใช้ Taylor series ของ $ \ln(1+x) $ มาช่วย จากนั้นอินทิเกรตตรงๆจาก series แล้วอ้าง $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

[The Cro_no]

โอ้ว พระเจ้ามาก
ขอบคุณมากคับ
แต่ขอ ถามอะไรนิดหน่อยคับ
ทำไม
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi ^2}{6} $$
หรือคับ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The Cro_no

โอ้ว พระเจ้ามาก
ขอบคุณมากคับ
แต่ขอ ถามอะไรนิดหน่อยคับ
ทำไม
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi ^2}{6} $$
หรือคับ

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi ^2}{6}= \zeta (2)$$ ครับ

[The Cro_no]

ขอบคุณมากเลยคับ
ได้ความรู้ใหม่ ๆ เยอะแยะเลย ^^