มาราธอน ม.ต้น

[poper]

$$a=\sqrt{3}+\frac{4-2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$$
$$=\frac{\sqrt{3}-3+4-2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$$
$$=\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$$
$$=1$$
$$a^6+a^3+1=1+1+1=3$$

[DOMO]

ไม่มีคนมาตั้งโจทย์เลยครับ

i) จากสมการ $2^{2x^2} + 2^{x^2+2x+2} = 2^{5+4x}$ จงหา x

ii)จงหารากจำนวนจริงจากสมการ $x^3-3x^2-3x-1 = 0$

iii)จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3 + (x^3+\frac{1}{x^3})} $

[LightLucifer]

ข้อของน้อง Scylla ยังไม่มีใครโพส solution เลยนิครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

ไม่มีคนมาตั้งโจทย์เลยครับ

i) จากสมการ $2^{2x^2} + 2^{x^2+2x+2} = 2^{5+4x}$ จงหา x

ii)จงหารากจำนวนจริงจากสมการ $x^3-3x^2-3x-1 = 0$

iii)จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3 + (x^3+\frac{1}{x^3})} $

i)ให้ $a=2^{x^2},b=2^{2x+2}$ ดังนั้นจะได้ว่า $a(a+b)=2b^2$ นั่นคือ (a-b)(a+2b)=0
แต่ a,b เป็นจำนวนจริงบวกแน่ๆ ย่อมได้ a=b ที่เหลือก็ง่ายแล้วตอบ $x=1\pm \sqrt{3}$

ii) จะได้ว่า $(x-1)(x^2-4x+1)=0$ ที่เหลือก้ง่ายแล้วตอบ $1,2\pm \sqrt{3}$
แก้ๆๆข้างบนมันเบลอไปหน่อย จัดรูปใหม่เป็น
2x^3=(x+1)^3 จะได้ $\sqrt[3]{2}x=x+1;x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ (ถ้างงว่ามาได้ไง ให้ลองคอนจูเกตดูนะคับ)
ปล.ii) สมการ$2x^3=(x+1)^3$ แล้วผมลดมาเป็นนี่ได้$\sqrt[3]{2}x=x+1$ มาจากการแยกตัวประกอบนะคับ

iii) ผมรู้สึกว่า ถ้า x เป็นจำนวนลบใกล้ๆ1แล้วมันก็จะน้อยลงไปเรื่อยๆ
ปล.สำหรับ iii) ผมว่าน่าจะกำหนดเป็นจำนวนจริงบวก (ถ้ากำหนดจะตอบ $\frac{29}{5}$ เกิดขึ้นเมื่อ x=1)

เอาละตอนนี้สิทธิตั้งคำถามคงเป็นของผมแล้วมั้งในตอนนี้
ขอถามคำถามข้อเดิม ให้แสดงวิธีการหาค่าของ $cos20^{\circ}cos40^{\circ}cos60^{\circ}cos80^{\circ} $
โดยไม่มีการใช้สูตรตรีโกณให้ใช้แค่บทนิยามของ cos

ปล. อย่าเมินกันอีกน้าา

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

i)ให้ $a=2^{x^2},b=2^{2x+2}$ ดังนั้นจะได้ว่า $a(a+b)=2b^2$ นั่นคือ (a-b)(a+2b)=0
แต่ a,b เป็นจำนวนจริงบวกแน่ๆ ย่อมได้ a=b ที่เหลือก็ง่ายแล้วตอบ $x=1\pm \sqrt{3}$

ii) จะได้ว่า $(x-1)(x^2-4x+1)=0$ ที่เหลือก้ง่ายแล้วตอบ $1,2\pm \sqrt{3}$

iii) ผมรู้สึกว่า ถ้า x เป็นจำนวนลบใกล้ๆ1แล้วมันก็จะน้อยลงไปเรื่อยๆ
ปล.สำหรับ iii) ผมว่าน่าจะกำหนดเป็นจำนวนจริงบวก (ถ้ากำหนดจะตอบ $\frac{29}{5}$ เกิดขึ้นเมื่อ x=1)

เอาละตอนนี้สิทธิตั้งคำถามคงเป็นของผมแล้วมั้งในตอนนี้
ขอถามคำถามข้อเดิม ให้แสดงวิธีการหาค่าของ $cos20^{\circ}cos40^{\circ}cos60^{\circ}cos80^{\circ} $
โดยไม่มีการใช้สูตรตรีโกณให้ใช้แค่บทนิยามของ cos

ปล. อย่าเมินกันอีกน้าา

ข้อ 2 เเทน 1 ไม่ได้ไม่ใช่เหรอครับ ???
ส่วน 3 ทำไมผมได้ $5$ ละครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ข้อ 2 เเทน 1 ไม่ได้ไม่ใช่เหรอครับ ???

อ่อทดเลขผิดครีับ แก้ไขแล้วครับ

[จูกัดเหลียง]

คือ ถ้าให้คิดเเบบ ม.ต้น
ผมว่า วาดรูปสามเหลี่ยมครับ (โดยทำมุมต่างๆกัน เป็น 20 40 60 80) มันจะมี รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซ่อนอยู่

เเต่ยากน่าดูเลยอ่ะครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

iii)จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3 + (x^3+\frac{1}{x^3})} $

สำหรับข้อนี้นะครับ
พิจารณาเศษได้
$(x+\frac{1}{x})^6 -[(x^6+\frac{1}{x^6})+2]$
= $[(x+\frac{1}{x})^3]^2-[(x^3+\frac{1}{x^3})]^2$
= $[(x+\frac{1}{x})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})][(x+\frac{1}{x})^3-(x^3+\frac{1}{x^3})]$
ตัดกับส่วนได้
$(x+\frac{1}{x})^3 - (x^3+\frac{1}{x^3})
=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^3} -(x^3+\frac{1}{x^3})
=3x+\frac{3}{x}=3(x+\frac{1}{x} )$
$\therefore$ ค่าน้อยสุด = 6

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

[quote=DOMO;114551]
ii)จงหารากจำนวนจริงจากสมการ $x^3-3x^2-3x-1 = 0$
จาก
$x^3-3x^2-3x-1 = 0$

$x^3-3x^2-3x-1-2x^3 = -2x^3$

$-x^3-3x^2-3x-1= -2x^3$

$-(x+1)^3=-2x^3$

$2x^3- (x+1)^3=0$


$(\sqrt[3]{2x}-x-1)((\sqrt[3]{2x})^2+(x+1)(\sqrt[3]{2x})+(x+1)^3) $

เนื่องจากวงเล็บหลัง $b^2-4ac <0$
จึงได้ว่า
$(\sqrt[3]{2x}-x-1)=0$

$x(\sqrt[3]{2}-1)=1$

$x=\frac{1}{ \sqrt[3]{2}-1} $

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ { !++_I' M @WESOME_++! }

สำหรับข้อนี้นะครับ
พิจารณาเศษได้
$(x+\frac{1}{x})^6 -[(x^6+\frac{1}{x^6})+2]$
= $[(x+\frac{1}{x})^3]^2-[(x^3+\frac{1}{x^3})]^2$
= $[(x+\frac{1}{x})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})][(x+\frac{1}{x})^3-(x^3+\frac{1}{x^3})]$
ตัดกับส่วนได้
$(x+\frac{1}{x})^3 - (x^3+\frac{1}{x^3})
=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^3} -(x^3+\frac{1}{x^3})
=3x+\frac{3}{x}=3(x+\frac{1}{x} )$
$\therefore$ ค่าน้อยสุด = 6

ทำไมถึงรู้ว่า x+1/x น้อยสุด=2อ่าครับ

[จูกัดเหลียง]

ก็พิสูจน์ ได้ครับ
จาก $(x-1)^2\geqslant 0$ $\Rightarrow$ $x+\frac{1}{x}\geqslant 2$
ปล. เมื่อ $x>0$ นะครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

งั้นผมตั้งข้อต่อไปเลยนะครับ

กำหนดให้ $a+b+c=0$ ถ้าสามารถเขียนนิพจน์ $a^5+b^5+c^5$ ให้อยู่ในรูป $kabc(a^2+b^2+c^2)$ ได้

แล้วค่าของ $k$ จะมีค่าเท่าใด

[Slurpee]

จาก $a^3+b^3+c^3=3abc$ ได้ว่า
$3abc(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^3c^2+b^3c^2+a^3b^2+c^3b^2+b^3a^2+c^3a^2$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+(a^3c^2+a^3b^2+c^3a^2)+(b^3c^2+c^3b^2+b^3a^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^2(ac^2+ab^2+c^3)+b^2(bc^2+c^3+ba^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^2[(c^2(a+c)+ab^2+)]+b^2[c^2(b+c)+ba^2)]$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^2[ab^2-bc^2]+b^2[ba^2-ac^2]$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^2b(ab-c^2)+b^2a(ba-c^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^2b(ab-c^2)+b^2a(ba-c^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+ab(ab-c^2)(a+b)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5-abc(ab-c^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5-abc(\frac{c^2-a^2-b^2}{2}-c^2)$
$3abc(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5-abc(\frac{-a^2-b^2-c^2}{2})$
$a^5+b^5+c^5=\frac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$
ดังนั้น $k=\frac{5}{2}$

[ShaDoW MaTH]

เชิญคุณ Slurpee ตั้งโจทย์ต่อเลยครับ

[Slurpee]

Find all solutions in nonnegative integers $(x,y,z)$ of the equation $2^x+3^y=z^2$
ไม่ทราบว่าเคยทำกันรึยังแต่โจทย์น่าสนใจดีครับ