รบกวนช่วยอธิบาย อินเวอร์ของฟังก์ชันตรีโกณ ด้วยคะ

[พลอย]

เราไม่เข้าใจว่าทำไม arctan(-1/2) สามารถเปลี่ยนในอยู่ในรูป
arccos(2/ึ[o][/o]5]ได้ ในเมื่อ โดเมนของarccos อยู่ในช่วง [0,p] ซึ่งโดเมนของarctanมันไม่ได้อยู่ในช่วงนี้ (เราไม่ค่อยเก่งน่ะคะ)

[YOKEE]

ขอใช้Test Code หน่อยครับ

เราไม่เข้าใจว่าทำไม
arctan( -1 / 2 )
สามารถเปลี่ยนในอยู่ในรูป
arccos(2 / ึ5 )
ได้ ในเมื่อ โดเมนของarccos อยู่ในช่วง [0,p]
ซึ่งโดเมนของarctanมันไม่ได้อยู่ในช่วงนี้

[gon]

เข้าใจว่าที่ทำไปหรือใครทำมาคิดอย่างนี้หรือเปล่าครับ.
ให้ tan^-1 (-1/2) = q
ดังนั้น tan q = -1/2
เขียนสามเหลี่ยมุมฉากที่มีความยาวด้านเป็น 1, 2, ึ5
เนื่องจาก tan q = -1/2 ติดลบ แสดงว่า q ต้องอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 ซึ่งค่า cos q เป็นบวก
ดังนั้น เมื่ออ่านค่าจากสามเหลี่ยมมุมฉากอีกทีจะได้ว่า cos q = 2/ึ5 (ไม่ใช่ -2/ึ5)
นั่นคือ q = cos^-1( 2/ึ5 )

ถูกต้องที่ว่า โดเมนของฟังก์ชัน arccos มันอยู่ในช่วง [0, p] ก็คือ cos^-1(2/ึ5) ตัวนี้ มันเป็นค่าที่จริง ๆ คิดว่า q อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 นั่นเอง เพราะมันเป็นค่าที่ทำให้ cos q เท่ากันคือ > 0 กับเมื่อคิดว่า q อยู่ในควอดรันต์ที่ 4 (ซึ่งหาค่า arccos ไม่ได้ )

สรุปก็คือ ที่เขียนมานั้นถูกต้องในระดับหนึ่งเท่านั้น กล่าวคือ ถ้าพิจารณาเฉพาะขนาดของ q กล่าวคือเป็นความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย ที่วัดจากจุด (1, 0) ไปในทิศตามเข็มนาฬิกาไปตกในควอดรันต์ที่ 4 มันก็จะยาวเท่ากับ เมื่อคิดว่า วัดความยาวส่วนโค้งจากจุด (1, 0) ไปในทิศทวนเข็มนาฬิกาไปตกในควอดรันต์ที่ 1

สรุปอีกทีก็คือ การกล่าวว่า tan^-1 (-1/2) = cos^-1 (2/ึ5) นั้น ถ้ากล่าวอย่างแท้จริงแล้วคือฟันธงลงไปก็คือ ไม่ถูกครับ แต่ถ้าอยากให้ถือว่าถูกบ้างก็ต้องเฉพาะเจาะจงลงไปว่าสนใจเฉพาะขนาดและทิศทางการวัดแบบดังกล่าวเท่านั้น

ทั้งคำถามและคำตอบ ต้องเปลี่ยนจาก โดเมน เป็น เรนจ์ นะครับ

โดเมนของ arctan คือ เซตของจำนวนจริง
ส่วนเรนจ์ของarctan คือ (-pi/2 , pi/2 )

โดเมนของ arccos คือ เซตของจำนวนจริง
ส่วนเรนจ์ของarccos คือ [0 , pi]

ดังนั้น
arctan( -1 / 2 )
ไม่สามารถเปลี่ยนในอยู่ในรูป
arccos(2 / sqrt(5) )
รายละเอียดตามคุณ gon

[nooonuii]

โดเมนของ arccosine และ arcsine คือ ช่วงปิด [-1,1] ครับ ไม่ใช่เซตของจำนวนจริง

[Black Cat]

ขอโทษครับเป็นความชุ่ยของผมเองที่ copy มาแล้วแก้ไม่หมด

อ๊ะ ทำไมเป็นชื่อ แมวดำ ได้ล่ะ

อ๊ะ ทำไมเป็นชื่อ แมวดำ ได้ล่ะ