PMWC 2012 ...Po Leung Kuk 15th

[banker]

ตางรางสี่เหลี่ยมเล็กๆเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
วงกมลใหญ่มีพื้นที่แรเงาสองส่วนกับพื้นที่ส่วนที่ไม่แรเงา
จงหาอัตราส่วนพื้นที่แรเงาต่อพื้นที่ไม่แรเงา



พื้นที่วงกลมใหญ่ = $ \pi 8^2 = 64 \pi$

แบ่งครึ่ง ได้ $ \ 32 \pi \ $เป้นส่วนแรเงาและไม่แรเงา

วงกลมเล็ก สองวง
วงใหญ่ = $ \pi 3^2 = 9 \pi $

วงเล็ก = $ \pi 2^2 = 4\pi $

ดังนั้น แรเงา = 32- 4+9 = 37

ไม่แรเงา = 32 -9 +4 = 27

อัตราส่วน $ \frac{แรเงา}{ไม่แรเงา} = \frac{37}{27}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

๑๓.จากรูปที่ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีจุด $O$ เป็นจุดภายในสี่เหลี่ยม ซึ่งมุม $\hat{BOC} $ เท่ากับ $90$ องศา,
$OB$ ยาวเท่ากับ $4$ ซม.และ $OC$ ยาวเท่ากับ $7$ ซม.
จงหาพื้นที่แรเงาของสามเหลี่ยม $AOB$ ในรูปของตารางเซนติเมตร

โดย pythagoras $a = \frac{16}{\sqrt{65} }$

พื้นที่แรเงา = $\frac{1}{2} \times \frac{16}{\sqrt{65} } \times \sqrt{65} = 8 \ $ตารางเซนติเมตร





อีกวิธี ใช้สามเหลี่ยมคล้าย


สามเหลี่ยมฟ้าคล้ายสามเหลี่ยมเหลือง (มมม.)

$\frac{x}{4} = \frac{4}{BC} = \frac{4}{AB}$

$x = \frac{16}{AB}$

พื้ยที่แรเงา = $\frac{1}{2} \times \frac{16}{AB} \times AB = 8 \ $ตารางเซนติเมตร

[กิตติ]

๑๐.ค่าเฉลี่ยของจำนวนทั้งหมด 20 จำนวน เท่ากับ $18$ เมื่อจำนวนแรกถูกเพิ่มอีก $2 $ ,จำนวนที่สองถูกเพิ่มอีก $4$ ,จำนวนที่สามถูกเพิ่มอีก $6$ ไปแบบนี้จนถึงจำนวนที่ยี่สิบซึ่งจะเพิ่มอีก $20$ นั่นคือจำนวนที่ $n$ จะเพิ่มอีก $2n$. จงหาค่าเฉลี่ยของจำนวนใหม่ทั้งยี่สิบจำนวน

จำนวนเดิมคือ $a_1,a_2,a_3,....,a_{19},a_{20}$
จำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นคือ $a_1+2,a_2+4,a_3+6,....,a_{19}+38,a_{20}+40$
ค่าเฉลี่ยของจำนวนใหม่ทั้งยี่สิบจำนวน เท่ากับ $\frac{(a_1+2)+(a_2+4)+(a_3+6)+....+(a_{19}+38)++(a_{20}+40)}{20} $

$=\left(\,\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_{19}+a_{20}}{20}\right)+\frac{\left(\,2+4+6+...+38+40\right) }{20} $

$=18+\frac{1+2+3+...+19+20}{10} $

$=18+21=39$

ตอบ $39$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

๕.จากรูปที่กำหนดให้ สี่เหลี่ยมจัตตุรัส $ABCD$ มีคาวมยาว $2$ ซม. และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ ,
$F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AD$ และ $G$ เป็นจุดบน $CF$ ที่ทำให้ $3CG=2GF$.
จงหาพื้นที่แรเงาของสามเหลี่ยม $BEG$ ในหน่วยของตารางเซนติเมตร

ใช้ความรู้อัตราส่วนด้านกับพื้นที่สามเหลี่ยม

ดูตามรูป จะได้ $BEG = \frac{4}{20} \times 4 = 0.8$

พื้นที่แรเงาของสามเหลี่ยม $BEG = 0.8 \ $ตารางเซนติเมตร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มุมภายในสี่เหลี่ยม = 360 องศา

มุมภายในห้าเหลี่ยม = 540 องศา

(a+b+c+r+p)+ (r+q+ d+e) + (f+g+h+ p+q) = 540+360+540

(a+b+c+d+e+f+g+h) + 2(p+r+q) = 1440 ....*

(p+x)+(y+q)+(z+r) = 180+180+180 = 540

(p+q+r )+ (x+y+z) = 540

p+r+q = 360

(a+b+c+d+e+f+g+h) + 2(360) = 1440

(a+b+c+d+e+f+g+h) = 1440 -720 = 720 degrees

[FedEx]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

สังเกตว่า
$B=A-12^2$
$C=B+13^2$
$D=C-14^2$

$B+C+D=A+B+C-12^2+13^2-14^2$
$A+B+C+D=2A+B+C-12^2+13^2-14^2$
$=2A+(A-12^2)+(A-12^2+13^2)-12^2+13^2-14^2$
$=4A-3\times 12^2+2\times 13^2-14^2 $

$A=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+(5^2-6^2)+...+(9^2-10^2)+11^2$
$=-(1+2+3+...+10)+121$
$=11(11-5)=66$

$A+B+C+D=4(66)+2(13^2-12^2)-(12^2+14^2)$
$=264+50-(144+169)$
$=314-313$
$=1$

คุณกิตติ ครับ ตรงบรรทัดที่ 3 นับจากท้าย $14^2 เป็น 196$ มั้ยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตรัสเล็กแต่ละรูป = 2x และแต่ละด้านยาว m ซม
$ m^2 = 2x$
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $ \ ACFE = 7x$

$7x = \frac{1}{2} \times 2m \times 91$

$x = 13m$

$x^2 = 169m^2$

$x^2 = 169(2x)$

$x = 169\times2$

$2x = 169\times4 = 676$

[banker]

$n = 20$

$(4 \times 20)+1 = 81 = 9^2$

$(6 \times 20) +1 = 121 = 11^2$

[banker]

1, k Ans.

[FedEx]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์ข้อนี้คงไม่ต้องแปล น่าจะเข้าใจได้

Attachment 10692

ลากเส้นเชื่อมต่างๆดังรูป (BQ, BD, BP)

กำหนดพื้นที่ตามอัตราส่วนดังรูป (m และ a, b) (ใช้ 4a, 4b เพื่อให้หารลงตัว)

จากที่โจทย์กำหนด
$ 4m+5m +3(a+b) = \frac{3}{5} \square ABCD$

$ 3m +(a+b) = \frac{1}{5} \square ABCD$

$ 6m +2(a+b) = \frac{2}{5} \square ABCD$.........(1)

จากรูป
$ 6m +4b = \frac{2}{5} \square ABCD$.....(2)

จาก (1) และ (2) $ \ \ 6m+2(a+b) = 6m+4b$

$a = b \ \ \to \ a:b = 1:1$

ตรงสมการตั้งต้น อา Banker ตก +4a ไปหรือเปล่าครับ

[กิตติ]

ใช่แล้วครับคุณFedExเดี๋ยวกลับไปแก้ครับ



๑.ในถุงใบหนึ่งมีแต่ลูกบอลสีขาวกับสีแดงเท่านั้น ทอมหยิบลูกบอลขึ้นมาหนึ่งลูก แล้วมองไปในถุงแล้วบอกว่า ๕ใน๗ของลูกบอลที่เหลือเป็นลูกบอลสีขาว จากนั้นทอมก็ใส่ลูกบอลคืนลงในถุงใบนี้ มาชาหยิบลูกบอลออกมาจำนวนหนึ่ง(one of the balls)แล้วมองไปในถุงและบอกว่า ๑๒ใน๑๗ของลูกบอลที่เหลือเป็นลูกบอลสีขาว แรกเริ่มนั้นมีลูกบอลทั้งหมดกี่ลูก

จากโจทย์ เรารู้แน่แล้วว่าทั้งสองคนหยิบได้ลูกบอลคนละสีกัน ไม่งั้นสัดส่วนของลูกบอลสีขาวต่อลูกบอลทั้งมหดต้องเท่ากัน ดังนั้นเราจะสมมุติว่าให้ทอมหยิบลูกบอลสีแดงหรือขาวก็ได้ ลองทำทั้งสองแบบให้ดู
กรณีแรก ทอมหยิบลูกบอลสีแดงและมาชาหยิบลูกบอลสีขาว
สมมุติให้มีลูกบอลสีขาว มี $x$ ลูกและมีลูกบอลสีแดง มี $y$ ลูก
จะได้ว่า $\frac{x}{x+y-1}=\frac{5}{7} $ และ $\frac{x-1}{x+y-1}=\frac{12}{17} $
จับมาหารกันได้
$\frac{x}{x-1}=\frac{5\times 17}{7 \times12 } $
$84x=85x-85 \rightarrow x=85$
แทนค่า $x$ แก้สมการหาค่า $y$ ได้ $\frac{85}{84+y} =\frac{5}{7}$
$85 \times 7=84\times 5+5y$
$17 \times 7=84+y$
$y=119-84=35$
มีลูกบอลทั้งหมด $85+35=120$ ลูก

กรณีที่สอง ทอมหยิบลูกบอลสีขาวและมาชาหยิบลูกบอลสีแดง
จะได้ว่า $\frac{x-1}{x+y-1}=\frac{5}{7} $ และ $\frac{x}{x+y-1}=\frac{12}{17} $
จับมาหารกันได้
$\frac{x-1}{x}=\frac{5\times 17}{7 \times12 } $
$84x-84=85x \rightarrow x=-84$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่เกิด จริงๆเราดูได้จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ เพราะเรารู้ว่า $\frac{5}{7} >\frac{12}{17} $ แสดงว่า ทอมหยิบสีอื่นที่ไม่ใช่สีขาว คือหยิบสีแดง จำนวนลูกบอลสีขาวจึงมีเยอะกว่าทำให้สัดส่วนลูกบอลสีขาวต่อลูกบอลทั้งหมดจึงมากกว่า

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FedEx

ตรงสมการตั้งต้น อา Banker ตก +4a ไปหรือเปล่าครับ

ขอบคุณครับ

แก้ไขแล้วครับ

[banker]

แต่ละเหลี่ยมแทนค่าด้วย a, b, c, d, e, f, g, และ h ดังรูป

a+b+c+d = 8034
b+c+f+g = 8034
e+f+g+h = 8034
a+d+e+h = 8034
a+b+g+h = 8034
c+d+e+f = 8034

ทั้ง 6 สมการรวมกัน

3(a+b+c+d+e+f+g+h) = 48204

a+b+c+d+e+f+g+h = 16068

2004 +2005 +2006 +...+2012 = 18072

18072 - 16068 = 2004

ดังนั้น จำนวนที่ไม่ได้ใช้คือ 2004

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

๑๔.จากรูปข้างล่างนี้ จุดทั้งสี่จุดคือ $P,Q,R,S$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่ระยะทางระหว่างสองจุดใดๆต่างเป็นจำนวนเต็ม(บวก). $Q$ เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง $PS$ และ $PQ\times PR\times PS\times QR\times QS\times RS=10500$
จงหาความยาวของ $PS$

$10500 = 2^2 \times 3 \times 5^3 \times 7 = 5 \times 7 \times 10 \times 2 \times 5 \times 3$

$PS = 5+2+3 = 10 \ $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

๑๑.ต้องการทาสีลงบนสี่เหลี่ยมแต่ละช่องตามรูปด้วยสีแดง,น้ำเงิน หรือเขียว
โดยกำหนดให้สี่เหลี่ยมสองช่องที่ติดกันจะต้องมีสีต่างกัน
จงหาว่ามีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการทาสีรูปสี่เหลี่ยมนี้

รายการเดาล้วนๆ เผื่อฟลุ๊กถูก





จัตุรัสใหญ่ วางสีแดง จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

จัตุรัสใหญ่ วางสีเขียว จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

จัตุรัสใหญ่ วางสีน้ำเงิน จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

รวม 48 วิธี