PMWC 2012 ...Po Leung Kuk 15th

[banker]

$\frac{37}{16} = 2 + \frac{5}{16} $

$ = 2+ \frac{ \frac{5}{5}}{ \frac{16}{5}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{5}}$

$x=2, \ y =3, \ z = 5$


$B = 3 + \frac{1}{5+ \frac{1}{2}} = \frac{35}{11}$

$C = 5 + \frac{1}{2+ \frac{1}{3}} = \frac{38}{7}$

$A \times B \times C = \frac{37}{16} \times \frac{35}{11} \times \frac{38}{7} = \frac{3515}{88}$

[banker]

จัดกลุ่มใหม่

$\frac{1}{11} + \frac{1}{33} +\frac{1}{55}+\frac{1}{77} = \frac{176}{11 \times 3 \times 5 \times 7 } = \frac{16}{3 \times 5 \times 7} = \frac{16}{105}$

$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{35}+\frac{1}{45}+\frac{1}{105} = \frac{267}{3 \times 3 \times 5 \times 7} = \frac{89}{3 \times 5 \times 7} = \frac{89}{105}$

รวม = $ \frac{16}{105} + \frac{89}{105} = 1$

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

๑๐.ค่าเฉลี่ยของจำนวนทั้งหมด 20 จำนวน เท่ากับ $18$ เมื่อจำนวนแรกถูกเพิ่มอีก $2 $ ,จำนวนที่สองถูกเพิ่มอีก $4$ ,จำนวนที่สามถูกเพิ่มอีก $6$ ไปแบบนี้จนถึงจำนวนที่ยี่สิบซึ่งจะเพิ่มอีก $20$ นั่นคือจำนวนที่ $n$ จะเพิ่มอีก $2n$. จงหาค่าเฉลี่ยของจำนวนใหม่ทั้งยี่สิบจำนวน

จำนวนเดิมคือ $a_1,a_2,a_3,....,a_{19},a_{20}$
จำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นคือ $a_1+2,a_2+4,a_3+6,....,a_{19}+38,a_{20}+40$
ค่าเฉลี่ยของจำนวนใหม่ทั้งยี่สิบจำนวน เท่ากับ $\frac{(a_1+2)+(a_2+4)+(a_3+6)+....+(a_{19}+38)++(a_{20}+40)}{20} $

$=\left(\,\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_{19}+a_{20}}{20}\right)+\frac{\left(\,2+4+6+...+38+40\right) }{20} $

$=18+\frac{1+2+3+...+19+20}{10} $

$=18+21\times 2=18+42=60$

ตอบ $60$

$=18+\frac{1+2+3+...+19+20}{10} $

$=18+21=18+21=39$

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

รายการเดาล้วนๆ เผื่อฟลุ๊กถูก



Attachment 10711

จัตุรัสใหญ่ วางสีแดง จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

จัตุรัสใหญ่ วางสีเขียว จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

จัตุรัสใหญ่ วางสีน้ำเงิน จะได้ 1x2x2x1x2x2 = 16 วิธี

รวม 48 วิธี

ผมคิดแบบนี้ ไม่รู้ถูกไหมครับ
กรณีที่ 1 ให้ช่องใหญ่และช่องเล็กที่ทแยงกันเป็นสีเดียวกัน จะได้ = 3 x 4 = 12 วิธี

กรณีที่ 2 ให้ช่องใหญ่และช่องเล็กที่ทแยงกัน ต่างสีกัน จะได้ = 3 x 2 = 6 วิธี

ตอบ รวมทั้งหมด 18 วิธี

[ทิดมี สึกใหม่]

ให้เลขจำนวนนี้ =abcxxxabc
หารด้วย abc ลงตัว ได้ abcxxxabc=abc x 1002001

เนื่องจาก abc เป็นเลขกำลังสองของจำนวนเฉพาะ และมี 3 หลัก และ a < 4 (เพราะจะเกิดตัวทด)
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ คือ
abc = 19 x 19 =361 ทดสอบได้ =361,722,361
abc = 17 x 17 =289 ทดสอบได้ =289,578,289

ตอบ 361,722,361

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณทิดมีสึกใหม่.....แก้แล้วครับ ผมสะเพร่าจริงๆครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ทิดมี สึกใหม่

ผมคิดแบบนี้ ไม่รู้ถูกไหมครับ
กรณีที่ 1 ให้ช่องใหญ่และช่องเล็กที่ทแยงกันเป็นสีเดียวกัน จะได้ = 3 x 4 = 12 วิธี
Attachment 10715
กรณีที่ 2 ให้ช่องใหญ่และช่องเล็กที่ทแยงกัน ต่างสีกัน จะได้ = 3 x 2 = 6 วิธี
Attachment 10716
ตอบ รวมทั้งหมด 18 วิธี

ไม่ฟลุ๊กแฮะ

[ทิดมี สึกใหม่]

(1) เลขที่หารด้วย 4 ลงตัว มีเงื่อนไข เลข 2 ตัวสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว
ดังนั้น ตามโจทย์ 2 หลักสุดท้าย คือ 44 (94 หาร 4 ไม่ลงตัว)
(2) เลขที่หารด้วย 9 ลงตัว ผลบวกของเลขโดดต้องหารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้น
ผลบวกของเลขโดดของจำนวนที่ต้องการคือ = 9n+4y
เมื่อ n,y เป็นจำนวนเต็มบวก และ n+y มีค่าน้อยที่สุด
เนื่องจาก ค.ร.น. ของ 4 และ 9 = 36 ดังนั้น จะได้ n=4 , y=9
และเลขจำนวนนั้นคือ 4,444,444,999,944
ตอบ สี่หลักสุดท้ายคือ 9,944

[กิตติ]

โจทย์มีว่า มีลูกบอลสองกอง คือกอง $A$ กับกอง $B$ โดยที่จำนวนลูกบอลในกอง $A$ อยู่ระหว่าง $240$ กับ $300$ ลูก แล้วทำตามนี้
1.หยิบลูกบอกจากกอง $A$ ไปใส่กอง $B$ ด้วยจำนวนที่เท่ากับจำนวนลูกบอลในกอง $B$
2.หยิบลูกบอกจากกอง $B$ ไปใส่กอง $A$ ด้วยจำนวนที่เท่ากับจำนวนลูกบอลที่เหลือในกอง $A$
3.หยิบลูกบอกจากกอง $A$ ไปใส่กอง $B$ ด้วยจำนวนที่เท่ากับจำนวนลูกบอลที่เหลือในกอง $B$
4.หยิบลูกบอกจากกอง $B$ ไปใส่กอง $A$ ด้วยจำนวนที่เท่ากับจำนวนลูกบอลที่เหลือในกอง $A$
5.หยิบลูกบอกจากกอง $A$ ไปใส่กอง $B$ ด้วยจำนวนที่เท่ากับจำนวนลูกบอลที่เหลือในกอง $B$
แล้วตอนนี้ จำนนลูกบอลทั้งสองกองมีค่าเท่ากัน จงหาว่าเริ่มต้นนั้นกอง $A$ มีลูกบอลเท่ากับเท่าไหร่

ให้กอง $A$ มีลูกบอล $m$ ลูก และกอง $B$ มีลูกบอล $n$ ลูก จะได้ว่า $m>n$ และ $240 \leqslant m \leqslant 300$
1.กอง $A$ เหลือลูกบอล $m-n$ และกอง $B$ มีลูกบอล $2n$
2.กอง $B$ เหลือลูกบอล $3n-m$ และกอง $A$ มีลูกบอล $2(m-n)$
3.กอง $A$ เหลือลูกบอล $3m-5n$ และกอง $B$ มีลูกบอล $2(3n-m)$
4.กอง $B$ เหลือลูกบอล $11n-5m$ และกอง $A$ มีลูกบอล $2(3m-5n)$
5.กอง $A$ เหลือลูกบอล $11m-21n$ และกอง $B$ มีลูกบอล $2(11n-5m)$

จะได้ว่า $11m-21n=2(11n-5m) \rightarrow n=(\frac{21}{43} )m$
ดังนั้น $m$ เป็นตัวเลขที่ $43$ หารลงตัว ซึ่งระหว่าง $240-300$ มีค่าเดียวที่ $43$ หารลงตัวคือ $258$

ตอบ จำนวนลูกบอลในกอง $A$ เริมต้นนั้นมีจำนวนเท่ากับ $258$ ลูก

[กิตติ]

มีตัวเลขสามหลักหกจำนวนดังนี้ $\overline{abc},\overline{acb},\overline{bac},\overline{bca},\overline{cab},\overline{cba} $ เมื่อหยิบจำนวนหนึ่งออกไปแล้วทำให้ผลรวมของห้าจำนวนที่เหลือเท่ากับ $1990$ ตัวเลขที่หยิบออกนั้นคือเลขอะไรให้ตอบเป็นจำนวนเลข

ที่สังเกตได้แน่นอนคือ $a,b,c\not= 0$
ผลบวกของทั้งหกค่าคือ $200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)$
$=222(a+b+c)$

เดี๋ยวมาคิดต่อ


สมมุติว่าให้ดึง $\overline{abc}$ ออกดังนั้น จะได้ว่า
$222(a+b+c)-100a-10b-c=1990$
$122a+212b+221c=1990$
จะได้ว่า1. $2a+c=10$
$61(2a+c)+212b+160c=1990$
$212b+160c=1380 $
มีค่าที่เป็นไปได้คือ $a=1,c=8 $
$a=2,c=6$
$a=3,c=4$
$a=4,c=2,b=5$
2.$2a+c=20$
$61(2a+c)+220b+160c=1990$
$212b+160c=770$
มีค่าที่เป็นไปได้คือ $a=9,c=2 $
$c=4,a=8$
$c=6,a=7$

เหลือคำตอบกรณีเดียวคือ 452
คิดผิดครับเดี๋ยวขอทดตัวเลขในกระดาษอีกรอบ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มีตัวเลขสามหลักหกจำนวนดังนี้ $\overline{abc},\overline{acb},\overline{bac},\overline{bca},\overline{cab},\overline{cba} $ เมื่อหยิบจำนวนหนึ่งออกไปแล้วทำให้ผลรวมของห้าจำนวนที่เหลือเท่ากับ $1990$ ตัวเลขที่หยิบออกนั้นคือเลขอะไรให้ตอบเป็นจำนวนเลข

ที่สังเกตได้แน่นอนคือ $a,b,c\not= 0$
ผลบวกของทั้งหกค่าคือ $200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)$
$=222(a+b+c)$

เดี๋ยวมาคิดต่อ


สมมุติว่าให้ดึง $\overline{abc}$ ออกดังนั้น จะได้ว่า
$222(a+b+c)-100a-10b-c=1990$
$122a+212b+221c=1990$
จะได้ว่า1. $2a+c=10$
$61(2a+c)+212b+160c=1990$
$212b+160c=1380 $
มีค่าที่เป็นไปได้คือ $a=1,c=8 $
$a=2,c=6$
$a=3,c=4$
$a=4,c=2,b=5$
2.$2a+c=20$
$61(2a+c)+220b+160c=1990$
$212b+160c=770$
มีค่าที่เป็นไปได้คือ $a=9,c=2 $
$c=4,a=8$
$c=6,a=7$

เหลือคำตอบกรณีเดียวคือ 452
คิดผิดครับเดี๋ยวขอทดตัวเลขในกระดาษอีกรอบ

ผมว่าไม่ต้องแจกแจง a, b, c ก็น่าจะได้
จากบรรทัด
$=222(a+b+c)$

ถ้า (a+b+c) = 9 ก็จะได้ $=222(a+b+c) = 1998 \ \to \ 1998 -1990 = 8 \ $ซึ่งไม่เป็นจำนวนสามหลัก

ถ้า (a+b+c) = 10 ก็จะได้ $=222(a+b+c) = 2220 \ $เงื่อนไข ไม่มี 0 จึงใช้ไม่ได้

ถ้า (a+b+c) = 11 ก็จะได้ $=222(a+b+c) = 2442 \ \to \ 2442 -1990 = 452 \ $ซึ่งก็คือจำนวนที่หยิบออกไป

[FedEx]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ทิดมี สึกใหม่

Attachment 10725
(1) เลขที่หารด้วย 4 ลงตัว มีเงื่อนไข เลข 2 ตัวสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว
ดังนั้น ตามโจทย์ 2 หลักสุดท้าย คือ 44 (94 หาร 4 ไม่ลงตัว)
(2) เลขที่หารด้วย 9 ลงตัว ผลบวกของเลขโดดต้องหารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้น
ผลบวกของเลขโดดของจำนวนที่ต้องการคือ = 9n+4y
เมื่อ n,y เป็นจำนวนเต็มบวก และ n+y มีค่าน้อยที่สุด
เนื่องจาก ค.ร.น. ของ 4 และ 9 = 36 ดังนั้น จะได้ n=4 , y=9
และเลขจำนวนนั้นคือ 4,444,444,999,944
ตอบ สี่หลักสุดท้ายคือ 9,944

จากแนวคิดของคุณทิดมี สึกใหม่
ถ้าให้ n=1 เราจะได้จำนวนที่น้อยที่สุดเป็น 4,444,444,944
4 หลักท้ายก็จะเป็น 4944 อย่างนี้ได้ไหมครับ

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FedEx

จากแนวคิดของคุณทิดมี สึกใหม่
ถ้าให้ n=1 เราจะได้จำนวนที่น้อยที่สุดเป็น 4,444,444,944
4 หลักท้ายก็จะเป็น 4944 อย่างนี้ได้ไหมครับ

ถูกต้องแล้วครับ ดูกังนัมมากไปเลยตกม้าตายครับ
9n+4y ต้องหารด้วย 9 ลงตัว

[banker]

ฝีมือหลานช่วยเฉลย

[กิตติ]

ใช้วิธีของลุงBankerง่ายกว่า แต่ต้องเช็คต่อว่า ค่าที่ได้เป็นไปตามเงื่อไขไหมอย่างกรณี $452$ จะได้ว่า $4+5+2=11$
ถ้า $a+b+c=12$ จะได้ว่าจำนวนนั้นคือ $674$ แต่ $6+7+4=17$ ไม่ใช่ $12$
ถ้า $a+b+c=13$ จะได้ว่าจำนวนนั้นคือ $896$ แต่ $8+9+6=23$ ไม่ใช่ $13$
ถ้า $a+b+c=14$ จะได้ว่าจำนวนนั้นคือ $1118$ ไม่ใช่เลขสามหลัก จึงเหลือคำตอบเดียว