ความน่าจะเป็น

[mark123 ^.^]

จงหาความน่าจะเป็น ในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา $n$ จำนวนแล้ว จำนวนทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน
ชวยหน่อยครับ

[Thgx0312555]

ให้ $\mathbb{P}$ เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ

ลองคิดเป็นหลักเพิ่มเข้าตัดออกดูครับ

ความน่าจะเป็นที่จำนวนเฉพาะ $p_1,...,p_k$ จะหารจำนวนทั้ง $n$ จำนวนลงตัวเท่ากับ $\frac{1}{(p_1\cdots p_k)^n}$

จากหลักเพิ่มเข้าตัดออก ความน่าจะเป็นที่ทั้ง $n$ จำนวนจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เท่ากับ

$\displaystyle 1- \sum_{p_1 \in \mathbb{P}} \frac{1}{p_1^n}+ \sum_{p_1<p_2 \in \mathbb{P}} \frac{1}{(p_1p_2)^n}- \cdots$

$= \displaystyle \prod_{p \in \mathbb{P}} (1-\frac{1}{p^n})$

$= \displaystyle (\prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{p^n}{p^n-1})^{-1}$

$= \displaystyle (\prod_{p \in \mathbb{P}} (1+\frac{1}{p^n}+\frac{1}{p^{2n}}+\cdots))^{-1}$

$= \displaystyle (\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n})^{-1}$ ซึ่งเป็นคำตอบ

[mark123 ^.^]

โอ้วววว ขอบคุณมากๆเลยครับ