โจทย์เพชรยอดมงกุฏ ปี 2557 หลายข้อ

[FedEx]

ท่านผู้รู้โปรดช่วยชี้แนะ ขอบคุณมากครับ

เฉลยข้อ 7

ตอบ 2)

เฉลยข้อ 15

ตอบ 3)

เฉลยข้อ 18

ตอบ 1)

เฉลยข้อ 20

ตอบ 1)

เฉลยข้อ 31

ตอบ 1)

เฉลยข้อ 32

ตอบ 4)

เฉลยข้อ 38

ตอบ 4)

เฉลยข้อ 45

ตอบ 3)

[กขฃคฅฆง]

7.

$x+y = 5-z$

$(x+y)z+xy = 3$

$xy = z^2-5z+3$

$x(5-x-z) = z^2-5z+3$

$x^2+(z-5)x+z^2-5z+3 = 0$

$(z-5)^2-4(z^2-5z+3) \geqslant 0$

$-3z^2+10z+13 \geqslant 0$

$(z+1)(3z-13) \leqslant 0$

$-1\leqslant z\leqslant \frac{13}{3} $

[กขฃคฅฆง]

15. จากโจทย์ได้

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \rightarrow a_1=ka_2 , b_1=kb_2$

$\frac{a_2}{a_3} = \frac{b_2}{b_3} $

$\dfrac{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+3b_2^2)}{(a_1^2+3b_1^2)(a_2^2+b_2^2)} = \dfrac{k^2(a_2^2+b_2^2)(a_2^2+3b_2^2)}{k^2(a_2^2+3b_2^2)(a_2^2+b_2^2)} = 1 =(\dfrac{a_1b_2}{a_2b_1})(\dfrac{b_2^2a_3^2}{a_2^2b_3^2}) = \dfrac{a_1b_2^3a_3^2}{b_1a_2^3b_3^2}$

[กขฃคฅฆง]

18. $a^3+a^2-27a-27 = 0$

$a^3+(1-\sqrt{3} )a^2-(36+\sqrt{3} )a-36 = 0$

$\sqrt{3} a^2+(9+\sqrt{3} )a+9 = 0$

$a = \frac{-9-\sqrt{3} \pm \sqrt{84-34\sqrt{3} } }{2\sqrt{3} }$

[กขฃคฅฆง]

20. $g(x)=\dfrac{x^6-1}{x-1} $

จาก $x^6-1\mid x^{6k}-1 \qquad \forall k \in \mathbb{N} $

$\therefore x^6-1\mid (x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+(1-1) = g(x^{12})-6$

$\therefore \frac{x^6-1}{x-1} \mid g(x^{12})-6$

$g(x^{12}) = g(x)q(x) + 6$

เศษคือ 6

[กขฃคฅฆง]

31.

$A+B = 90^o$

$sinA = cosB$

$2cos^2A+cosB = 2(1-sin^2A)+cosB = 2(1-cos^2A)+cosB = -2cos^2B+cosB+2$

ให้ $-2cos^2B+cosB+2 = k$

$2cos^2B-cosB+k-2 = 0$

[Thgx0312555]

18. สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ
$(a+1)(a-3\sqrt{3})(a+3\sqrt{3})=0$
และ $(a+1)(a-4\sqrt{3})(a+3\sqrt{3})=0$

$a=-1,-3\sqrt{3}$
$-3\sqrt{5}<a<-0.9$

[computer]

38.

ใช้ Power of Point จะได้ว่า CP=9

$\bigtriangleup APC$ เนื่องจาก $\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}= cos 60$

ดังนั้น APC เป็นสามเลี่ยมมุมฉาก --> มุม APC = 90 , มุม PAC = 30

ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม จะได้ว่า มุม BOC = 2PAC = 60

ดังนั้น สามเหลี่ยม BOC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

$r^2 = BC^2 = 73$ --> หาโดย cosine law

[computer]

ข้อ 45

ใช้พื้นที่สามเหลี่ยมเปรียบเทียบ

ใช้ ทบ.เมเนลอส

$\frac{CM}{MA}\cdot \frac{AB}{BN} \cdot \frac{NP}{PC} = 1$

$\frac{NP}{PC}=\frac{2}{3}$

ให้พืนที่สามเหลี่ยม $APM = x$ --> $[APC]=2x$

จาก $\frac{NP}{PC}=\frac{2}{3}$

จะได้ว่า $[ANP]=\frac{4}{3}x$ --> $[BNP]=\frac{8}{3}x$

จะได้ว่า $[ABC]=20x$ และ $[PBC]=4x$

$[ABC]=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AR=20x$

$AR = \displaystyle\frac{20x}{BC}$ -------------(1)

เนื่องจาก $[PBC]=\frac{1}{2} \cdot BC \cdot PS=4x$

$PS=\displaystyle\frac{8x}{BC}$ -------------(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ว่า $\displaystyle \frac{PS}{AR}=\frac{2}{5}$

[Thgx0312555]

45. เนื่องจากเป็นข้อสอบ ม.ต้น เลยอยากเสนอวิธีไม่ใช่เมเนลอสครับ
$[APB]=[AMB]-[APM]=[CMB]-[CPM]=[CPB]$
$[APC]=[ANC]-[APN]=\frac{1}{2}[BNC]-\frac{1}{2}[BPN]=\frac{1}{2}[CPB]$

$\dfrac{PS}{AR}=\dfrac{[CPB]}{[ABC]}=\dfrac{[CPB]}{[APB]+[CPB]+[APC]}=\dfrac{[CPB]}{[CPB]+[CPB]+\frac{1}{2}[CPB]}=\dfrac{2}{5}$

[FedEx]

ขอบคุณทั้ง 3 ท่านมากๆครับ ที่ช่วยเฉลย