#1
|
||||
|
||||
Limit
$$\lim_{x\to-5}\sqrt{5+x}$$
หาค่าได้หรือไม่ อย่างไรครับ เห็นบางคนบอกว่าได้ บางคนบอกไม่ได้
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#2
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันนี้นิยามสำหรับ $x\ge5$ ดังนั้นเราจะหาลิมิตทางบวกได้ทางเดียวเท่านั้น (หาลิมิตทางลบไม่ได้) นั่นคือไม่มีลิมิตหากพิจารณาว่าลิมิตทั้งสองทางต้องเท่ากัน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#3
|
|||
|
|||
หาค่าไม่ได้ครับ ฟันธง !!! เพราะ
$$\lim_{x\to -5^-}\sqrt{5 + x}$$ หาค่าไม่ได้ครับ อ้าว คุณ nongtum ตอบแล้วเหรอครับ งั้นถามว่าฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{5 + x}$ ต่อเนื่องบนช่วง $[-5, 5]$ หรือไม่
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 04 เมษายน 2006 22:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#4
|
||||
|
||||
อันนี้เป็นความเห็นผมเองนะครับ คิดว่า ถ้าจะพิจารณากันจริงๆ แล้ว เราไม่สามารถนิยามค่าลิมิตทางซ้ายได้ จึงไม่สามารถบอกได้ว่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่ได้โดยใช้ทฤษฏีบทลิมิตซ้าย และ ลิมิตขวา
แต่เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากหนังสือแคลคูลัสพื้นฐานจึงใช้กันปกติ (คือบอกไปก่อนว่าหาค่าไม่ได้ หรือว่า ก็ไม่พูดถึงจุดนี้) Definition : Let \( A \subseteq R \; \) and let \( f:A \rightarrow R \) (i) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (c,\infty) = \{x\in A : x>c\} \) then we say that \( L \in R \; \) is a right-hand limit of f at c and we write \( lim_{x \rightarrow c^{+}} f = L \) (ii) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (-\infty,c) = \{ x\in A : x<c\} \) then we say that \( L \in R \; \) is a left-hand limit of f at c and we write \( lim_{x \rightarrow c^{-}} f = L \) พิจารณา \(f(x) = \sqrt{5+x} \; \) เป็นฟังก์ชันจาก \( [-5,\infty) \) ไปยังจำนวนจริงบวก ลองพิจารณากรณี (ii) จะเห็นว่า x=-5 ไม่เป็น cluster point ของ \( [-5,\infty)\cap(-\infty ,-5) = \phi \) จึงไม่มีความหมายที่จะเขียน ลิมิตซ้าย แต่สามารถพิสูจน์ได้ว่าลิมิตมีค่าเป็น 0 โดยใช้นิยามดังนี้ (เป้นแบบฝึกหัดให้พิสูจน์ครับ) \(Theorem : \lim_{x \rightarrow c} \sqrt{x} = \sqrt{c} \text{ for all } c \geq 0 \) กรณี c=0 จะได้ว่า สำหรับทุก \(\epsilon > 0 \; , x>0 , \; |x| < \delta = \epsilon^2 \rightarrow |\sqrt{x}| < \epsilon \) กรณี cน0 จะได้ว่า ให้ \( |x-c| < \sqrt{c}\epsilon \rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{c}| < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{c}} = \epsilon \) Reference : Introduction to Real analysis ; Robert G. Bartle ,second edition ทุกท่านเห็นว่าไงกันบ้างครับ แสดงความเห็นกันต่อได้
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 04 เมษายน 2006 23:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#5
|
||||
|
||||
ต่างคนต่างความคิด ...
หนังสือแคลคูลัส 1 บอกว่าหาค่าไม่ได้ แต่มีคนบอกว่าใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง หาค่าได้ แล้วใครถูกต้อง หรือว่า แคลคูลัส 1 ยังไม่ต้องสนใจปัญหานี้ ?
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#6
|
||||
|
||||
ตามที่คุณ Mastermander เข้าใจถูกต้องแล้วครับ ใน Calculus 1 ยังไม่ต้องสนใจประเด็นนี้ก่อน ไม่งั้นคงจะปวดหัวกันไปอีกนาน
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#7
|
||||
|
||||
ตอบแบบมัธยมก็หาค่าได้ครับ
$$\lim_{x\to-5}\sqrt{5+x}$$ จากนั้นแทนค่า x=-5 จะได้ $\sqrt{5-5} = 0$ งุงิ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#8
|
||||
|
||||
แบบมัธยมก็ยังหาค่าไม่ได้นะครับ เพราะ ใช้การพิจาณาลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเหมือนกัน
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#9
|
||||
|
||||
แล้วท่านอื่นๆสรุปว่าอย่างไรครับ
แล้วถ้าออกเป็นข้อสอบว่าควรตอบอย่างไร
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#10
|
|||
|
|||
เป็นปัญหาโลกแตกที่ไม่ค่อยมีใครอยากตอบซักเท่าไหร่ครับ ทางที่ดีที่สุดควรยึด reference เป็นหลัก หลักสูตรม.ปลายนิยามว่ายังไงก็คงต้องใช้ตามนั้นครับ คณิตศาสตร์ก็เหมือนเกมกีฬานั่นแหละครับ เล่นกันไปตามกติกา กีฬาบางประเภทกติกายังไม่เหมือนกันเลยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
อ่า เป็นปัญหาโลกแตกจริงๆครับ อิอิ
ผมว่าไม่ควรนำมาออกข้อสอบ จะทำให้เด็กๆไปเถียงอาจารย์เปล่าๆ ปล. พี่ noonuii เช็คให้ด้วยครับว่าวิธีพิสูจน์ใช้ได้เป่าคับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#12
|
|||
|
|||
สำหรับในกรณีที่ละเอียดอ่อนเช่นนี้ การใช้นิยามของการมีลิมิตแบบพื้นๆ เช่น ลิมิตทางซ้ายต้องเท่ากับลิมิตทางขวา จะไม่เพียงพอ และอาจทำให้เกิดปัญหา ได้คำตอบที่ผิดๆออกมาครับ ปัญหาของโจทย์ข้อนี้จะคล้ายๆกับกระทู้ ลำดับเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่
เพื่อจะตอบคำถามข้อนี้ เราจำเป็นต้องใช้นิยามของลิมิตที่ rigorous ดังต่อไปนี้ครับ ให้ $f$ เป็น real function ที่มีโดเมนคือ $D_f \subseteq \mathbb R$ และ $a$ เป็น cluster point ใน $D_f$ เราจะกล่าวว่า $$ \lim_{x\to a} f(x) =l$$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon>0$ เราจะสามารถหาจำนวนจริง $\delta>0$ ที่ทำให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง $$\text{ถ้า } x\in D_f \text{ และ } 0<|x-a|< \delta \quad แล้ว \quad |f(x)-l|< \epsilon$$ ส่วนนิยามของ cluster point ก็คือ เราจะกล่าวว่า $a$ เป็น cluster point ในเซ็ต $D \subseteq \mathbb R$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon>0$ เราจะสามารถหา $x\in D$ ที่ทำให้ $0< |x-a|< \epsilon$ ได้ จากนิยามทั้งสองอันนี้เราจะพบว่า $$\lim_{x\to-5} \sqrt{5+x} =0$$ ครับ อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
#13
|
|||
|
|||
อืมมมมม เล่นกันถึงขนาดนี้เลยรึเนี่ย งั้นผมขอกลับคำให้การแล้วกันครับ จริง ๆ แล้วในคณิตศาสตร์ ไม่ว่าเราจะมองในแง่มุมไหนก็ควรจะได้คำตอบเหมือนกันนะครับ ลองดูทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับลิมิตซ้ายและลิมิตขวานะครับ
ทฤษฎีบท ให้ $I$ เป็นช่วงเปิดที่บรรจุจุด $c$ และสมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน $I$ อาจยกเว้นที่จุด $c$ จะได้ว่า $\lim_{x\to c}f(x) = L$ ก็ต่อเมื่อ $\lim_{x\to c^+}f(x) = L$ และ $\lim_{x\to c^-}f(x) = L$ เมื่อเราพิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{5 + x}$ จะเห็นได้ว่า $D_f = [-5, \infty)$ ดังนั้นไม่มีช่วงเปิด $I$ ที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทข้างต้น จึงพิจารณาจากลิมิตซ้ายและลิมิตขวาไม่ได้ เพราะฉะนั้นจากกระทู้ก่อนหน้านี้ ฟันธง (อีกที) ว่า $\lim_{x\to -5}\sqrt{5 + x} = 0$ เอ..... แต่จำได้ว่าอาจารย์ที่สอนผมตอน ม.ปลาย และปี 1 บอกว่าหาค่าลิมิตไม่ได้ เฮ้อ งง
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#14
|
|||
|
|||
จริงๆถ้าใช้ ลิมิตทางซ้าย = ลิมิตทางขวา อย่างรัดกุมแบบที่คุณ alongkorn เขียน ก็คงไม่ถึงกับได้คำตอบที่ผิดหรอกครับ เพียงแต่อาจให้คำตอบในกรณีเช่นนี้ไม่ได้ แต่ผมไม่ทราบว่า นิยาม และ ทฤษฎีบท ในระดับ ม.ปลาย จะรัดกุมแบบนี้หรือเปล่า
|
#15
|
||||
|
||||
นู๋ว่ามันก็คงเหมือนหา lim xฎ0 [ ึ[o][/o]x ] นั่นล่ะฮะ
กราฟมันไม่นิยามในช่วง (ฅ,0) อยู่แล้ว ก็เหมือนกับว่าไม่ต้องสนใจ limit ที่จะเข้าใกล้ด้านซ้าย (ขอพูดด้านซ้ายนะ ไม่เอาด้านลบ) จะบอกว่ามี limit รึเปล่า ถ้าดูกราฟก็บอกได้ว่าที่ 0 กราฟเข้าใกล้ 0 แน่นอน แต่ถ้ายึดทฤษฏีบทที่ว่า limit จะหาค่าได้เมื่อ limit ซ้ายขวาหาค่าได้และเท่ากัน ก็คงต้องบอกว่าไม่มีลิมิต ถ้าออกมาเป็นข้อสอบก็เขียนอธิบายไปเถอะฮะ อาจารย์เค้ารู้ว่าเรามีความรู้ ก็คงได้คะแนนนะ
__________________
Do math, do everything. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
โจทย์ปัญหา เรื่อง limit ครับ | sck | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 20 | 25 ตุลาคม 2008 15:18 |
Prove that ..... about limit | Ta | Calculus and Analysis | 2 | 02 กันยายน 2005 01:40 |
|
|