ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมปลาย 2552

[banker]

$\sqrt{15+\sqrt{216} } $

$= \sqrt{15+6\sqrt{6} } = \sqrt{9+6\sqrt{6} +6} = \sqrt{(3+\sqrt{6})^2 } = 3 + \sqrt{6} = a + \sqrt{b} $

$a = 3, \ \ b = 6$

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{3} = 2 $

ตอบ ข้อ 2

[banker]

ข้อ 6
$S = 2\sqrt{1.5+\sqrt{2} } - (1.5+\sqrt{2} )$

ข้อนี้ถ้าคิดไม่ออก แต่จำได้ว่า $\sqrt{2} = 1.4$ ก็แทนค่าไปเลยครับ

$S = 2\sqrt{1.5+1.4 } - (1.5+1.4 )$

$S = 2\sqrt{2.9} - (2.9)$

$ \because \ \ \sqrt{3} = 1.73 --> \sqrt{2.9} $ ประมาณ $1.7$

$S = 2\sqrt{2.9} - (2.9) = (2 \times 1.7) - 2.9 = 3.4 - 2.9 $ ประมาณ 0.5 หรือ $\frac{1}{2}$

[banker]

ทั้ง 8050 และ 8051 ต่างมี $2^{2009}$ เป้นตัวประกอบ

แต่ 8050 น้อยกว่า 8051

ตอบ ข้อ 2

[banker]

$\because \ \ \frac{7}{1001}$ เหลือเศษ 7

$\because \ \ \frac{77}{1001}$ เหลือเศษ 77

$\because \ \ \frac{777}{1001}$ เหลือเศษ 777

$\because \ \ \frac{7777}{1001} = \frac{7\times 1001 +770}{1001}$ เหลือเศษ 770

$\because \ \ \frac{77777}{1001} = \frac{77\times 1001 +700}{1001}$ เหลือเศษ 700

$\because \ \ \frac{777777}{1001} = \frac{777\times 1001 +0}{1001}$ เหลือเศษ 0

$\because \ \ \frac{7777777}{1001} = \frac{7770\times 1001 +7}{1001}$ เหลือเศษ 7

$\because \ \ \frac{77777777}{1001} = \frac{77700\times 1001 +77}{1001}$ เหลือเศษ 77
.
.
เลขวน 6 ชุด

$\frac{1001}{6}$ เหลือเศษ 5

ดังนั้นเศษเหลือคือ 700

ตอบ ข้อ 1

[banker]

$1111111111 \times 111111111 = 1234567900987654321$

$sum (N)^2 = 1+2+3+4+5+6+7+9+0+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 82 $

ตอบ ข้อ 1

[banker]

$4^x+\frac{1}{4^x} = 7$ ....(1)

$4^{2x}+2+\frac{1}{4^{2x}} = 49$

$16^x+\frac{1}{16^{x}} = 47$ ....(2)

(1) x (2) $64 ^x + \frac{1}{4^x} + 4^x + \frac{1}{64^x} = 329$

$64^x+(7) + \frac{1}{64^x} = 329$

$64^x+ \frac{1}{64^x} = 322$ .....(*)


ให้ $8^x+\frac{1}{8^x} = A$

$64^x+2+\frac{1}{64^x} = A^2$

$64^x+\frac{1}{64^x} = A^2-2$...(**)

(*)=(**) $ \ \ A^2-2 = 322$

$A^2 = 324 = 18^2$

$A = 8^x+\frac{1}{8^x} = 18$

ตอบ ข้อ 3

[banker]

ข้อนี้คิดแล้วปวดหัว คิดไม่ออก

แต่คิดว่าน่าจะใช้แทคติกเดาคำตอบได้

ให้ $9n^9 = 9 m^a = 3^2 \times m^a$

ดังนั้นตัวประกอบของ $9n^3$ มีจำนวน $(2+1)\times(a+1) = 3a+3$

จับตัวเลือกที่มีมาทดสอบ ถ้าจำนวนใด ลบ 3 แล้วหารด้วย 3 ลงตัว ก็ตอบข้อนั้น

ปรากฏว่า 6888 - 3 = 6885 หารด้วย 3 ลงตัว มี choice เดียว

เดาส่งข้อนี้แหละ ใส่คำตอบไป

ตอบ ข้อ 3


ถ้าคิดวิธีได้ เดี๋ยวมาทำต่อ ตอนนี้ส่งคำตอบไปก่อนหมดเวลา

[banker]

$ a = (10^{100})^{10} = 10^{1000}$ คือ มี 1 กับ 0 อีก 1000 ตัว เป็นจำนวน 1001 หลัก (10 ยกกำลัง 4หลัก)

$b = 10^{10^{10}} = 10$ ยกกำลัง 1001หลัก

ดังนั้น $a < b \ \ $ (ไม่ได้ช่วยอะไรเลย เพราะใน choice มี a น้อยที่สุดอยู่แล้ว)

$c = 1000000! = 10^6\cdot 999999 \cdot 999998 \cdot 999997 ... 3\cdot 2\cdot 1$

$d = (100!)^{10} = 100^{10}\cdot 99^{10}\cdot 98^{10}.....3^{10}\cdot 2^{10}\cdot 1^{10}$ ซึ่งน้อยกว่า $100^{10}$ จำนวน 100 ตัวคูณกัน ซึ่งเท่ากับ $(100^{10})^{100} = 10^{2000}$ เท่ากับ 10 ยกกำลัง 4 หลัก

ก็จะได้ $a<d<b$

มาดู c กับ b

$c = 1000000! =10^6\cdot 999999 \cdot 999998 \cdot 999997 ... 3\cdot 2\cdot 1$ < $10^6$ 1 ล้านตัวคูณกัน ซึ่งเท่ากับ 10 ยกกำลัง 6 ล้าน เท่ากับ 10 ยกกำลัง7หลัก

ดังนั้น $c<b$ แต่มากกว่า d

จึงได้ a<d<c<b



ตอบ ข้อ 2

[banker]

$ \because \ \ (x-a)(x-b)(x-c) = x^3-(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x -abc $

$x^3 -7x^2-6x+5$


โดยการเทียบ สปส

$(a+b+c) = 7$

$ab+bc+ca = -6$

$abc =-5$


$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc $

$(a+b)(b+c)(c+a) = (7)(-6) - (-5) = -37$


ตอบ ข้อ2

[Siren-Of-Step]

โซ้ย หลายข้อแล้วครับ เหลือให้ผมบ้าง (พูดเล่นนะครับ ตามสบาย)

[banker]

Siren-Of-Step ไม่ต้องห่วง

ที่ผมทำได้ ก็มีแค่นั้นแหละครับ

[Ne[S]zA]

ข้อ 35. กำหนดให้ $g(x)=f(x)-f(2x)$ และ $h(x)=f(x)-f(4x)$ ถ้า $g'(1)=5$ และ $g'(2)=7$ จงหาค่าของ $h'(1)$
จากโจทย์จะได้ว่า $h'(x)=f'(x)-4f'(4x)$ นั่นคือ $h'(1)=f'(1)-4f'(4)$ และ $g'(x)=f'(x)-2f'(2x)$ นั่นคือ
$g'(1)=f'(1)-2f'(2)=5$_____(1) และ $g'(2)=f'(2)-2f'(4)=7$_____(2)
จากสมการทั้งสองจะได้ว่า $f'(1)-4f'(4)=h'(1)=19$

[Ne[S]zA]

ข้อ 33 $f(x)=1+x+x^2+...+x^{100}$ จงหาค่าของ $f''(1)-f'(1)+f(1)$
จากโจทย์จะได้ว่า $f(1)=\sum_{n = 1}^{100}1$
และ $f'(x)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=\sum_{n = 1}^{100}nx^{n-1}$ นั่นคือ $f'(1)=\sum_{n = 1}^{100}n$ และจะได้ว่า
$f''(x)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)x^n$ นั่นคือ $f''(1)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)$
ดังนั้นค่าของ
$$f''(1)-f'(1)+f(1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)-\sum_{n = 1}^{100}n+\sum_{n = 1}^{100}1=\dfrac{99(100)(199)}{6}+\dfrac{99(100)}{2}-\dfrac{100(101)}{2}+100=328350$$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 3519

ข้อนี้คิดแล้วปวดหัว คิดไม่ออก

แต่คิดว่าน่าจะใช้แทคติกเดาคำตอบได้

ให้ $9n^9 = 9 m^a = 3^2 \times m^a$

ดังนั้นตัวประกอบของ $9n^3$ มีจำนวน $(2+1)\times(a+1) = 3a+3$

จับตัวเลือกที่มีมาทดสอบ ถ้าจำนวนใด ลบ 3 แล้วหารด้วย 3 ลงตัว ก็ตอบข้อนั้น

ปรากฏว่า 6888 - 3 = 6885 หารด้วย 3 ลงตัว มี choice เดียว

เดาส่งข้อนี้แหละ ใส่คำตอบไป

ตอบ ข้อ 3


ถ้าคิดวิธีได้ เดี๋ยวมาทำต่อ ตอนนี้ส่งคำตอบไปก่อนหมดเวลา

ถ้าโจทย์ตามนี้ไม่มีการแก้ไขโจทย์ ค่าของ n ที่เป็นไปได้มี 2 กรณีคือ $n =5*11^3$ หรือ $n =5^3*11$ แต่ไม่ว่าจะป็นกรณีไหนก็ไม่มีคำตอบในตัวเลือกครับ ไม่แน่ใจว่าข้อนี้หรือเปล่าที่ทำให้ปีที่แล้วได้สูงสุดแค่ 39 (ถ้าจำไม่ผิด)

[Ne[S]zA]

ข้อ 38. $cos(arctan x)=x$
ให้ $arctanx=\theta$ นั่นคือ $tan \theta = x$ นั่นคือ $cos \theta =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
ดังนั้น $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}=x$ จะได้ว่า $x^2=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$