Line Integral and Green Theorem

[B บ ....]

โจทย์ : $\oint x^2y dx - y^2x dy$ over C เมื่อ C เป็นเส้นของบริเวณในจัตุภาคที่ 1 *ที่อยู่แกนพิกัดกับวงกลม $x^2 + y^2 = 16$ จงคำนวณอินทิกรัลนี้ โดยคำนวณแบบอินทิกรัลตามเส้นโดยตรงและตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้กับการอินทิกรัลโดยใช้ทฤษฎีบทของกรีน
ไอตรง * ผมว่า โจทย์มันน่าจะหมายถึง เส้นโค้ง C ถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรงสามเส้น คือ เส้นโค้ง $x^2 + y^2 = 16$ ในจัตุภาคที่ 1 กับเส้นตรงบนแกน x และเส้นตรงบนแกน y
ผมอินทิเกรตตามเส้นตรงๆได้คำตอบ $-16\pi$ แต่ใช้ทฤษฎีบทของกรีนได้ $-32\pi$ งง ครับ ไมมันไม่เท่ากัน
อินทิเกรตตรงๆผมแบ่งได้ สามส่วน คือ C1:Over Circle in first quadran C2:เส้นตรงปิดทางด้านแกน y
C3: เส้นตรงปิดตรงด้านแกน x พอแทนด้วยตัวแปรเสมอในรูป t รู้สึกว่า อินทิเกรตบน C2 กับ C3 ได้ 0
บน C1 ได้ $-256*\int_{0}^{\pi/2}\,cos^2(x)sin^2(x) dx $ เมื่อ $C1 :\bar r (t) = 4cos(t)\bar i + 4sin(t)\bar j $ เมื่อ $ 0<= t <= \pi/2" $
ลองคำนวณอินทิเกรตด้วยเมเปิ้ลแล้ว ผลอินทิเกรตมันก็ไม่ตรงจริงๆ เพราะผมแปลงสมการในรูปอิงตัวแปรเสริมผิด รึ ใช้ทฤษฎีบทของกรีนผิดครับ งง ดูอยู่หลายรอบ หาที่ผิดไม่เจอ

[B บ ....]

เฮ้อ ผมขอโทษครับ ผมคูณเลขผิดเอง ต้องได้ -512 แทนที่จะเป็น -256 คิดใหม่ 3 4 รอบยังไงก็หาที่ผิดไม่เจอ พอมองผ่านๆเจอซะงั้น
ขออภัยที่รบกวนเวลาบางท่าน ที่อาจจะสละเวลาช่วยคิดแล้ว