จำนวนเชิงซ้อนครับ

[กิมจิ]

ให้ Z1 , Z2 , Z3 ,Z4 ,Z5 เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ต่างกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1

ถ้า Z1+Z2+Z3+Z4+Z5 = 0

จงหาส่วนจริงของ (Z1+Z2)/Z3 + (Z2+Z3)/Z4 + (Z3+Z4)/Z5 + (Z4+Z5)/Z1 + (Z5+Z1)/Z2

ใครคิดออกช่วยทีครับ

[krit]

ให้ $z_1=a_1+b_1i$
$z_2=a_2+b_2i$
$z_3=a_3+b_3i$
$z_4=a_4+b_4i$
$z_5=a_5+b_5i$
จากโจทย์จะได้ $\left|z_k\right|=\sqrt{a_k^2+b_k^2}=1$ $\therefore a_k^2+b_k^2=1$
พิจารณา $\frac{z_1+z_2}{z_3}$ จะได้
$\frac{z_1+z_2}{z_3}=\frac{a_1+a_2+i(b_1+b_2)}{a_3+b_3i}$
$=\frac{[a_1+a_2+i(b_1+b_2)](a_3-b_3i)}{(a_3+b_3i)(a_3-b_3i)}$
$=[a_1+a_2+i(b_1+b_2)](a_3-b_3i)\,\,\,\,\,(\because a_3^2+b_3^2=1)$
$=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3+i(a_3b_1+a_3b_2-a_1b_3a_2b_3)$
ซึ่งมีส่วนจริง $=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
$Re(\frac{z_2+z_3}{z_4})=a_2a_4+a_3a_4+b_2b_4+b_3b_4$
$Re(\frac{z_3+z_4}{z_5})=a_3a_5+a_4a_5+b_3b_5+b_4b_5$
$Re(\frac{z_4+z_5}{z_1})=a_4a_1+a_5a_1+b_4b_1+b_5b_1$
$Re(\frac{z_5+z_1}{z_2})=a_5a_2+a_1a_2+b_5b_2+b_1b_2$
$\therefore Re(\frac{z_1+z_2}{z_3}+\frac{z_2+z_3}{z_4}+\frac{z_3+z_4}{z_5}+
\frac{z_4+z_5}{z_1}+\frac{z_5+z_1}{z_2})$
$=a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+a_4a_1+a_5a_2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5+a_5a_1$
$\,\,\,\,\,+b_1b_3+b_2b_4+b_3b_5+b_4b_1+b_5b_2+b_1b_2+b_2b_3+b_3b_4+b_4b_5+b_5b_1$
$=\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2+(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)^2}{2}$
แต่จากโจทย์ $z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$
$\therefore a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0 และ b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=0$
$\therefore \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2+(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)^2}{2}=0$
$\therefore Re(\frac{z_1+z_2}{z_3}+\frac{z_2+z_3}{z_4}+\frac{z_3+z_4}{z_5}+
\frac{z_4+z_5}{z_1}+\frac{z_5+z_1}{z_2})=0$

พอได้ไหมครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ krit

$=a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+a_4a_1+a_5a_2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5+a_5a_1$
$\,\,\,\,\,+b_1b_3+b_2b_4+b_3b_5+b_4b_1+b_5b_2+b_1b_2+b_2b_3+b_3b_4+b_4b_5+b_5b_1$
$=\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2+(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)^2}{2}$

ปัญหาน่าจะอยู่ที่สมการนี้ สองค่านี้เท่ากันหรือครับ.

[กิมจิ]

ขอบคุณครับ พี่ๆทั้งสองคน

[bell18]

ข้อนี้เป็นข้อสอบทุน king ปี49 คำตอบคือ -5/2 ครับ
แนะนำ : จำนวนเชิงซ้อนที่มีสมบัติดังกล่าว เช่นรากที่5ของ1 เป็นต้น

[PP_nine]

ข้อนี้ต้องมองให้เห็นถึงสมบัติพื้นฐานครับ ที่ว่า $z+\bar{z}=2 Re(z)$

จากที่ $|z_i|=1$ ได้ว่า $z_i^{-1}=\bar{z_i}$

กำหนดให้
$$z=\sum_{cyc}\, \bar{z_3}(z_1+z_2)=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_2}+\bar{z_3})$$
$$\bar{z}=\sum_{cyc}\, z_3(\bar{z_1}+\bar{z_2})=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_4}+\bar{z_5})$$
$$\therefore 2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (\bar{z_2}+\bar{z_3}+\bar{z_4}+\bar{z_5})$$
$$2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (-\bar{z_1})$$
$$2Re(z)=- \sum_{cyc} |z_1|^2$$
$$2Re(z)=-5$$
$$Re(z)=-\frac{5}{2}$$

[กิมจิ]

ขอบคุณ คุณPP_nine ที่เปิดมุมมองใหม่ให้กับผม คิดไม่ถึงอ่ะคับ

ตอนแรกก้อคิดแบบkrit แต่คิดไม่สุดเพราะคิดว่าไม่น่าจะได้คำตอบ

วันหลังคงใช้ความพยายามให้มากกว่านี้ ขอบคุณทุกๆคนนะคับ