หาลิมิต (indeterminate form) Help me please

[Ne[S]zA]

Calculate
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x} -\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Calculate
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x} -\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$$

คอนจุเกตตัวเศษ จากนั้นจัดให้อยู่ในรูปผลคูณ โดยที่แต่ละนิพจน์หาลิมิตได้ครับ โดยใช้ $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 $$

[Keehlzver]

จากคำใบ้ของพี่กร พบว่าตอบ $0.25$

[Ne[S]zA]

โอเค ครับ ได้ละครับ ขอบคุณมากครับบบ ^ ^

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

จากคำใบ้ของพี่กร พบว่าตอบ $0.25$

ได้ตรงกันครับ.

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Calculate
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x} -\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$$

ผมพึ่งฝึกเรื่องพวกนี้ช่วยดูให้หน่อยนะครับ

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x} -\sqrt{1+\sin x}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x (\dfrac{1-\cos x}{\cos x}) }{x^3 (\sqrt{1+\tan x} +\sqrt{1+\sin x})}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x }{2\cos x \cdot x^2}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{2x^2}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{x \to 0} \dfrac{2-2\cos^2 \frac{x}{2}}{x^2}$
$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{1}{4}$