ฟังก์ชััน

[beginner01]

มีฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึงจาก $\mathbb{R}$ ไปยัง $\mathbb{R}$ ที่เป็นฟังก์ชันทางเดียว ซึ่งมีจุดที่ไม่ต่อเนื่องใน $\mathbb{R}$ หรือไม่?

[nooonuii]

The answer is no.

[beginner01]

ทำไมถึงไม่มีล่ะครับ

[nooonuii]

สามารถพิสูจน์ได้ครับว่า

ถ้า $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็น onto monotone function แล้ว $f$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

Proof:

ขอใช้ภาษาอังกฤษนะครับ

Suppose WLOG that $f$ is increasing.

Fix $a\in\mathbb{R}$. Let $\epsilon>0$ be given.

Then there are $b,c$ such that

$f(b)=f(a)+\frac{\epsilon}{2}$ and $f(c)=f(a)-\frac{\epsilon}{2}$.

Observe that $b>a>c$.

Let $\delta_1=b-a>0$ and $\delta_2=a-c>0$.

Then $f(a+\delta_1)=f(b)=f(a)+\frac{\epsilon}{2}<f(a)+\epsilon$ and

$f(a-\delta_2)=f(c)=f(a)-\frac{\epsilon}{2}>f(a)-\epsilon$.

Choose $\delta=\min{\{\delta_1,\delta_2\}}$.

If $|x-a|<\delta$ then

$a-\delta<x<a+\delta$,

$a-\delta_2\leq a-\delta < x < a+\delta\leq a+\delta_1$.

Thus $f(a-\delta_2)<f(x)<f(a+\delta_1)$,

$f(a)-\epsilon<f(a-\delta_2)<f(x)<f(a+\delta_1)<f(a)+\epsilon$.

Hence $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.

Therefore $f$ is continuous at $a$.

This completes the proof.

[beginner01]

ขอบคุณครับ
ขอถามอีกนิดว่า monotone ในที่นี้ นี่เป็น strictly อย่างเดียว หรือว่าไม่ต้อง strictly monotone ก็ได้ครับ?
ขอบคุณล่วงหน้า

[nooonuii]

ไม่จำเป็นต้อง strictly monotone ครับ

ถ้าเพิ่มเงื่อนไขว่า $f$ 1-1 ถึงจะต้องมีเงื่อนไขของ strictly monotone