โจทย์แก้เหงา เรื่องอะมีบา

[banker]

มีอะมีบาอยู่ 4 สี คือสีแดง สีเขียว สีเหลือง และสีน้ำเงิน
เมื่ออะมีบาสองตัวที่มีสีแตกต่างกันมาเจอกัน อะมีบาทั้งสองจะรวมตัวกันกลายเป็นอะมีบาตัวเดียว
โดยอะมีบาตัวใหม่ที่เกิดขึ้นจะมีสีตามเงื่อนไขต่อไปนี้

อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีเขียวจะกลายเป็นสีน้ำเงิน
อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีเหลืองจะกลายเป็นสีแดง
อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีเหลือง
อะมีบาสีเขียวรวมตัวกับสีเหลืองจะกลายเป็นสีเขียว
อะมีบาสีเขียวรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีแดง
อะมีบาสีเหลืองรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีน้ำเงิน


ในตอนแรกมีอะมีบาสีแดง สีเขียว สีเหลือง และสีน้ำเงิน อยู่จำนวน 96, 97, 98 และ 99 ตัวตามลำดับ
ถ้าอะมีบารวมตัวกันไปเรื่อยๆ จนในที่สุดเหลืออยู่เพียงตัวเดียว
จงหาว่าอะมีบาตัวสุดท้ายมีสีอะไร

1 สีแดง
2 สีเขียว
3 สีเหลือง
4 สีน้ำเงิน

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1252


ตอบ ข้อ4.

[Amankris]

เป็นแบบฝึกหัดในหัวข้อ Invariant ด้วยนะ


Edited : 26/07/11
ข้อนี้ต้องทำหลายอย่างเลยนะ

1) ต้องแสดงว่าคำตอบที่เป็นไปได้มีเพียงสีเดียว

2) ต้องแสดงว่า ไม่ว่าจะรวมตัวกันอย่างไร ก็ต้องได้คำตอบเดียวกันเสมอ

3) และอย่างสุดท้ายก็คือ แสดงความเป็นไปได้จริงด้วยการยกตัวอย่าง

[bone]

ตอบสีแดงหรือเปล่าครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ใ ช่ ค รั บ ต อ บ สี แ ด ง ห รื อ เ ป ล่ า ค รั บ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

เป็นแบบฝึกหัดในหัวข้อ Invariant ด้วยนะ


Edited : 26/07/11
ข้อนี้ต้องทำหลายอย่างเลยนะ

1) ต้องแสดงว่าคำตอบที่เป็นไปได้มีเพียงสีเดียว

2) ต้องแสดงว่า ไม่ว่าจะรวมตัวกันอย่างไร ก็ต้องได้คำตอบเดียวกันเสมอ

3) และอย่างสุดท้ายก็คือ แสดงความเป็นไปได้จริงด้วยการยกตัวอย่าง

ทำอย่างไรครับ

[PP_nine]

โจทย์ invariant เป็นโจทย์ที่มีคำตอบเฉพาะของโจทย์ครับ

อย่างข้อนี้ต้องแทนที่สีแดงด้วย $i$ สีเขียวด้วย $-1$ สีเหลืองด้วย $1$ และสีน้ำเงินด้วย $-i$

($i$ คือจำนวนซึ่ง $i \cdot i=-1$ เผื่อบางคนยังไม่รู้ เห็นโจทย์ประถมปลาย )

สังเกตว่าเวลาแต่ละตัวรวมกัน ให้เอาตัวเลขที่เรากำหนดคูณกัน แล้วผลลัพธ์จะได้ตัวเลขที่แทนด้วยสีหลังรวมกัน

เช่น สีแดง($i$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีเหลือง(1) เพราะ $(i)(-i)=1$

สีเขียว($-1$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีแดง($i$) เพราะ $(-1)(-i)=i$

แสดงว่าไม่ว่ามันจะผสมกันเท่าไหร่ ผลคูณเลขซึ่งเป็นตัวแทนแต่ละสีจะมีค่าคงเดิม (นี่แหละที่เรียก invariant=ตัวยืนยง)

ฉะนั้น เมื่อรวมกันทุกตัวก็จะได้ว่าตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $(i)^{96}(-1)^{97}(1)^{98}(-i)^{99}=-i$

นั่นคือ ตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $-i$ ซึ่งก็คือสีน้ำเงินนั่นเอง

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

โจทย์ invariant เป็นโจทย์ที่มีคำตอบเฉพาะของโจทย์ครับ

อย่างข้อนี้ต้องแทนที่สีแดงด้วย $i$ สีเขียวด้วย $-1$ สีเหลืองด้วย $1$ และสีน้ำเงินด้วย $-i$

($i$ คือจำนวนซึ่ง $i \cdot i=-1$ เผื่อบางคนยังไม่รู้ เห็นโจทย์ประถมปลาย )

สังเกตว่าเวลาแต่ละตัวรวมกัน ให้เอาตัวเลขที่เรากำหนดคูณกัน แล้วผลลัพธ์จะได้ตัวเลขที่แทนด้วยสีหลังรวมกัน

เช่น สีแดง($i$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีเหลือง(1) เพราะ $(i)(-i)=1$

สีเขียว($-1$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีแดง($i$) เพราะ $(-1)(-i)=i$

แสดงว่าไม่ว่ามันจะผสมกันเท่าไหร่ ผลคูณเลขซึ่งเป็นตัวแทนแต่ละสีจะมีค่าคงเดิม (นี่แหละที่เรียก invariant=ตัวยืนยง)

ฉะนั้น เมื่อรวมกันทุกตัวก็จะได้ว่าตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $(i)^{96}(-1)^{97}(1)^{98}(-i)^{99}=-i$

นั่นคือ ตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $-i$ ซึ่งก็คือสีน้ำเงินนั่นเอง

มีโจทย์พวกนี้อีกไำหมครับ อยากได้

[PP_nine]

1.มีลูกบอลสีขาว 2012 ลูกอยู่ในกล่อง นอกกล่องมีลูกบอลสีขาว,แดง,เขียว อยู่มากมายเกินพอ
นำลูกบอลสองลูกออกจากกล่องแล้วใส่ลูกบอลที่อยู่นอกกล่องลงไปตามกฎดังนี้
-สีขาวออก 2 ลูก ใส่คืนด้วยสีเขียว 1 ลูก
-สีแดงออก 2 ลูก ใส่คืนด้วยสีเขียว 1 ลูก
-สีเขียวออก 2 ลูก ใส่คืนด้วยสีขาวและสีแดงอย่างละ 1 ลูก
-สีขาวและสีเขียวออกอย่างละ 1 ลูก ใส่คืนด้วยสีแดง 1 ลูก
-สีเขียวและสีแดงอย่างละ 1 ลูก ใส่คืนด้วยสีขาว 1 ลูก
ถ้าทำไปเรื่อยๆเป็นไปได้หรือไม่ที่เหลือลูกบอลในกล่อง 1 ลูก ถ้าเหลือ ลูกนั้นมีสีอะไร

2.ปลาการูตูนสามารถแปลงสีผิวได้ 3 สีคือ น้ำเงิน,ส้ม,แดง (เป็นสีเดียว ณ เวลาหนึ่งๆ) สีละ 11,18,4 ตัวตามลำดับ
ถ้าสองตัวสีต่างกันผสมพันธุ์กัน ทั้งสองตัวจะเปลี่ยนสีเป็นอีกสีที่ทั้งสองตัวไม่ได้เป็น (เช่น น้ำเงิน,ส้ม > แดง,แดง)
ถ้าผสมพันธุ์กันไปเรื่อยๆ เป็นไปได้ไหมที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ทุกตัวมีสีเดียวกันหมด (ปลาการ์ตููนแปลงเพศเองได้ ไม่ต้องคำนึงถึงเพศ)

3.เขียนเลข 1,2,3,...,2554 บนกระดานดำ ถ้าลบออก 2 ตัวแล้วแทนที่ด้วยผลบวกหรือผลต่างสองตัวนั้น
ถ้าทำไปเรื่อยๆจนเหลือตัวเดียว เป็นไปได้หรือไม่ที่ตัวสุดท้ายจะเป็นเลข 0
_______________________________________________________________________________________

ปล.หนังสือ สอวน.คอมบินาทอริคส์ก็มีโจทย์พวกนี้อยู่นิดหน่อยนะครับ ลองดูๆ

[อัจฉริยะข้ามภพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

โจทย์ invariant เป็นโจทย์ที่มีคำตอบเฉพาะของโจทย์ครับ

อย่างข้อนี้ต้องแทนที่สีแดงด้วย $i$ สีเขียวด้วย $-1$ สีเหลืองด้วย $1$ และสีน้ำเงินด้วย $-i$

($i$ คือจำนวนซึ่ง $i \cdot i=-1$ เผื่อบางคนยังไม่รู้ เห็นโจทย์ประถมปลาย )

สังเกตว่าเวลาแต่ละตัวรวมกัน ให้เอาตัวเลขที่เรากำหนดคูณกัน แล้วผลลัพธ์จะได้ตัวเลขที่แทนด้วยสีหลังรวมกัน

เช่น สีแดง($i$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีเหลือง(1) เพราะ $(i)(-i)=1$

สีเขียว($-1$) + สีน้ำเงิน($-i$) ได้สีแดง($i$) เพราะ $(-1)(-i)=i$

แสดงว่าไม่ว่ามันจะผสมกันเท่าไหร่ ผลคูณเลขซึ่งเป็นตัวแทนแต่ละสีจะมีค่าคงเดิม (นี่แหละที่เรียก invariant=ตัวยืนยง)

ฉะนั้น เมื่อรวมกันทุกตัวก็จะได้ว่าตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $(i)^{96}(-1)^{97}(1)^{98}(-i)^{99}=-i$

นั่นคือ ตัวสุดท้ายมีเลขตัวแทนเป็น $-i$ ซึ่งก็คือสีน้ำเงินนั่นเอง

ไม่ใช่สีแดงหรอกเหรอ คิดได้ยังงั้นน่ะ

[Speedy Math]

1) คิดว่าเป็นไปไม่ได้ครับ
ขาว=$i$
เขียว=$-1$
แดง=$-i$