ช่วยหน่อยนะ

[perterlly zoughq]

จงแสดงว่า ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มซึ่ง (a,b)=1 แล้ว (a+b, a-b)=1 หรือ 2

[Mojo-Mojo]

แบ่งเป็น 2 กรณี

กรณีแรก a และ b เป็นคี่ทั้งคู่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $a = 2n+1$ , $b = 2n-1$ โดยที่ $(2n+1,2n-1)=1$

$(2n+1+2n-1,2n+1-2n+1) = (4n,2) = 2(2n,1) = 2(1) = 2$

กรณีที่สอง มีตัวใดตัวหนึ่งเป็นคู่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $a = 2n+1 , b = 2n$ โดยที่ $(2n+1,2n)=1$

$(2n+1+2n,2n+1-2n) = (4n+1,1) = 1$

เพราะฉะนั้น $(a+b,a-b) = 1 หรือ 2$

ผมทำถูกรึเปล่าช่วยพิจารณาด้วยนะครับ

[Thgx0312555]

a = 2n+1, b = 2n-1 ควรใช้คนละตัวแปรกันนะครับ

วิธีง่ายๆ
$(a,b) = (a,a+b) = 1$
$(2a,a+b) = 1 \ $หรือ$ \ 2$
$(a+b,a-b)= 1 \ $หรือ$ \ 2$

[Mojo-Mojo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ perterlly zoughq

จงแสดงว่า ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มซึ่ง (a,b)=1 แล้ว (a+b, a-b)=1 หรือ 2

แล้วเราจะพิสูจน์ตัวนี้ยังไงเหรอครับ ถ้า $(a,b) = 1$ แล้ว $(a+b,a^2-ab+b^2) = 1$ หรือ $3$ รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

[Thgx0312555]

เนื่องจาก $a^2-ab+b^2 = (a+b)(a-2b)+3b^2$
ดังนั้น
$(a+b,a^2-ab+b^2) = (a+b,3b^2)$

แต่ $(a,b) = (a+b,b) = 1$
$(a+b,b^2) = 1$

ดังนั้น $(a+b,a^2-ab+b^2) = (a+b,3b^2) = 1 \ $ หรือ $ \ 3$

[perterlly zoughq]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

a = 2n+1, b = 2n-1 ควรใช้คนละตัวแปรกันนะครับ

วิธีง่ายๆ
$(a,b) = (a,a+b) = 1$
$(2a,a+b) = 1 \ $หรือ$ \ 2$
$(a+b,a-b)= 1 \ $หรือ$ \ 2$

เ่อ่อแล้วตรง$(2a,a+b) = 1 \ $หรือ$ \ 2$
$(a+b,a-b)= 1 \ $หรือ$ \ 2$[/quote] มาไ้ด้ยังไงเอ่ย ผมอ่อนมาก

[Thgx0312555]

จาก $(a,a+b) = 1$
แบ่งกรณี

ถ้า $(2,a+b) = 1$
จะได้ว่า $(2a,a+b) = 1$

ถ้า $(2,a+b) = 2$
นั่นคือ $2$|$(a+b)$

$a+b = 2k, \exists k \in \mathbb{Z}$
แต่ $(a,2k) = 1$
ดังนั้น $(a,k) = 1$
$(2a,a+b) = (2a,2k) = 2(a,k) = 2$

ดังนั้น $(2a,a+b) = 1$ หรือ $2$

บรรทัดต่อมา ใช้ $(x,y) = (x+py,y); x,y,p \in \mathbb{Z}$

จากเอกลักษณ์ แทนค่า $x = 2a, y = a+b, p = -1$
จะได้ $(2a,a+b) = (2a-a-b,a+b) = (a-b,a+b)$ ครับ

[perterlly zoughq]

อ่อ..เข้าใจและ ขอบคุณมากๆๆๆครับ^^