ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

[tana]

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ นี่ถือว่าเป็นสมการไดโอแฟนไทน์รึเปล่าครับ

( x^n + y^n = z^n )

[warut]

เป็นครับ

[tana]

แล้วเป็นในระดับกี่มิติหรือครับ
ใช่ 3 มิติหรือเปล่าครับ

[warut]

ไม่ทราบเหมือนกันครับ เพราะไม่รู้จักว่า "มิติ" ของสมการไดโอแฟนไทน์เป็นยังไง
ใครรู้วานบอกหน่อยครับ

[tana]

มีใครเคยเห็นบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ บ้างมั้ยครับ
เท่าที่เห็นมามันมีแต่อธิบายภาพรวมอ่ะครับ แต่บทพิสูจน์ทั้งไทยทั้ง Text นี่ผมยังไม่เคยเห็นเลยอ่ะครับ

[TOP]

ก็ไม่เคยเห็นเช่นกันครับ แต่เคยได้ข่าวมาว่าเป็นการพิสูจน์ที่ยาวมากๆ และในโลกนี้มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้น ที่จะอ่านเข้าใจและรับรองได้ว่า เป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้อง ก็หวังไว้ว่าคงมีโอกาสได้เป็นหนึ่งในนั้นด้วยสักคน

[gon]

เรื่องเด็ด ๆ ระดับ 11 ดาวแบบนี้ จะช้าจะเร็วชาตินี้อย่างไงพี่ก็รู้เรื่องให้ได้ครับ. เมื่อมีคนเข้าใจได้ แสดงว่ามันก็ไม่น่าที่จะเกินความพยายามของมนุษย์ เพียงแต่อาจต้องใช้เวลาในการเติมจิ๊กซอแห่งความเข้าใจนานหน่อย ก็คงต้องค่อย ๆ เก็บเกี่ยวไปถ้าตั้งใจจริงก็จะน่าจะสำเร็จนะครับ. พี่ว่านาย Andrew Wiles อะไรนั่นก็ไม่น่าที่จะเป็นบุคคลประเภท Genius แต่น่าที่จะเป็นบุคคลประเภทที่ไม่ยอมแพ้ต่อปัญหาแบบสุด ๆ มากกว่า หลายคนคงเคยอ่านบทสัมภาษณ์ของเขากันมาแน่แล้ว

ส่วนเรื่องตำราพิสูจน์ฉบับภาษาอังกฤษไม่น่าที่จะหายากนะครับ. เข้าใจว่ามีพิมพ์ขายนานแล้วด้วย แต่ไม่รู้จะสั่งซื้อมาตอนนี้ทำไม เพราะเอามาตอนนี้ก็คงขึ้นแท่นบูชาเปล่า ๆ ไม่แน่ในอนาคตอาจจะมีคนที่พิสูจน์ด้วยแนวทางอย่างอื่นได้สำเร็จ. ตอนนี้ในกลุ่มข่าว Math.sci ของ Google ก็มีคนกำลังพยายามจะพิสูจน์แบบสั้น ๆ ให้ได้อยู่ โดยพยายามใช้ Bionomial Theorem , Any index อยู่ ถ้าสนใจก็ลองไปที่นี่นะครับ. http://groups.google.co.th/groups?dq...6ie%3DUTF-8%26 group%3Dsci.math%26start%3D100
ถ้าจะอ่านให้เข้าใจที่นายคนนั้นจะอธิบายอย่างชัดแจ้งก็ยากเอาการอยู่ เพราะแค่ดูสัญลักษณ์ก็ลายตาแล้ว แค่อ่านแนวคิดก็คงพอแล้ว ถ้าวันใดที่พี่เข้าใจได้กระจ่างหมดทุกขั้นตอน วันนั้นพี่ก็คงจะเขียนเป็นภาษาไทยแน่ ๆ ครับ. เพียงแต่วันนั้นจะมาถึงมาเมื่อไร คงคาดเดาไม่ได้

ตอนนี้พี่ก็กำลังพยายามแกะรอยอัจฉริยะอย่าง Ramanujan อยู่ครับ. แค่หน้าแรกบทที่ 2 ของ The Lost Note Book (เล่ม 1 หรือ 2) ของรามานุจัน (ฉบับ Original) ก็สัมผัสได้ถึงความเข้มข้นแล้วครับ. เป็นการประมาณค่าของ ln 2 โดยใช้ Series ง่าย ๆ แต่ขอบอกว่าคอนเวร์จเร็วเป็นบ้าเลย. ยังไม่มีอารมณ์เสียตังค์ไปซื้อหนังสือของ BRUCE C. BERNDT (ที่ใช้เวลาร่วม 20 ปีกับเพื่อนที่ compile งานของ The lost Note Book ของรามานุจันออกมาเป็น 3000 กว่าทฤษฎีบท) มาอ่าน แกะเองคงได้ความสนุกตื่นเต้นเร้าใจ อีกทั้งฝึกทักษะความคิดอีกโขทีเดียว โดยส่วนตัวเรื่องประเภทลึกลับนี่พี่ชอบอยู่แล้วครับ. เช่น Riemann Hypothesis (เข้าใจว่ายังคง Unsolved อยู่นะ) ลองนึกดูเล่น ๆ นะครับ.ว่าปัญหาประเภท Unsolved นี่ ถ้าวันใดวันหนึ่งเราสามารถ Solved ได้ด้วยตัวเราเองล่ะก็ มันจะตื่นเต้นระดับไหน คงบอกไม่ถูก. อย่าง ท.บ.ง่าย ๆ ที่พี่เพิ่งพิสูจน์ไปนี่ แค่นั้นพี่ก็ตะโกนร้องเย่ ! ! ออกมาลั่นห้องแล้วครับ. ถ้าใครมาได้ยินตอนนั้น คงนึกว่าหมอนี่มันบ้าแน่ ๆ เลย อิ อิ.

[tana]

เท่าที่เห็นนี่
กรณี n=1 เป็นสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ก็เลยมีผลเฉลย
กรณี n=2 เป็นพีธากอรัสจึงมีผลเฉลยใช่มั้ยครับ

*กรณี n=3 ลองช่วยพิสูจน์ว่าไม่มีผลเฉลยกันหน่อยสิครับ
อยากรู้ว่าแต่ละคนมีแนวคิดกันยังไงบ้างน่ะครับ

( แล้วบทพิสูจน์พีธากอรัสที่เค้าว่ามีเป็น 100 เป็น 1000 วิธีนี่หาได้จากไหนเหรอครับ ยังไม่เคยเห็นเลยอ่ะครับ )

[gon]

กรณี n = 3 มันยากไงครับ. โดยทั่วไปจึงไม่เจอในตำราประเภท Elementary Number Therory ทั้งหลายเสียส่วนใหญ่. ถ้าเป็นกรณี n = 4 ก็มีดาษเดื่อน. ที่จริงเรื่องนี้น้อง Tana น่าจะชำนาญมากกว่าใครนะครับ. เพราะเรียนมาเอกเลขมาโดยตรง กรณี n = 3 น่าจะเคย prove บ้างล่ะสมัยเรียน (หรือเปล่า)

เข้าใจว่าเกาส์เป็นคนแรกที่ prove ได้ โดยเกาส์ใช้รากที่ 3 ของ -1 ในควอดรันต์ที่ 1 กับ 4 แต่อย่างไรก็ดีในภาพรวมของการ Attack ปัญหา ซึ่งโดยวิธีอื่น ๆ ต่อมา หลักการก็คือ จะเลี่ยง Solve ตรง ๆ จาก x² + y² = z² ไปเป็น a² + b² = d² เมื่ออักษรกรีกแทนระบบจำนวนแบบ Algrebraic Number : ซึ่งแบ่งออกเป็น 3 แบบหลัก คือ Rational Integer หรือ integer in k[1], Guassian Integer หรือ integer in k[i] และ integer in k[r]

เมื่อ Rational Integer หรือ integer in k[1] = -... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Guassian Integer หรือ integer in k[i] = a + bi เมื่อ a, b เป็น ordinary integer (นั่นคือ Rational Integer เป็นสับเซตของ Guassian Integer )
และ Interger in k[r] คือ a + br เมื่อ a, b เป็น ordinary integer และ p = รากที่สามของ 1 ใน ควอดรันต์ที่ 2

บทพิสูจน์ทั้งของ Guass และ ต่อมาเมื่อพัฒนาทฏษฎีบทเกี่ยวกับ Interger in k[r] ก็มาจากแนวนี้ โดยที่เปลี่ยน x² + y² = (x + y)(x + ry)(x + r²y) = z³ ว่าไม่มีคำตอบแทน

ดังนั้นถ้าถามว่าพิสูจน์ยากไหม ตอบว่าไม่ยาก แต่ความยากนั้นมันอยู่ที่ความที่เราต้องไปทำความรู้จักกับระบบจำนวนแบบใหม่ที่พัฒนาขึ้นมา เช่น unit, prime, associate ซึ่งต้องใช้เวลามาก ๆ ในการจะสร้าง sense ขึ้นมา โดยปกติคนทั่วไปก็ไม่ได้สร้าง sense เกี่ยวกับจำนวนแบบนี้ขึ้นมา ถ้าจะพิสูจน์ เรื่องมันจึงยาว เพราะต้องอธิบายกันตั้งแต่จำนวนแบบใหม่ สมบัติและทฤษฎีบทแบบใหม่ ในหนังสือที่ขึ้นชื่อว่า Elementary ที่พี่เห็นก็มีของ Hardy ส่วนของคนอื่นยังไม่เคยเห็น เว้นเสียแต่ว่าใครจะแนวคิดใหม่ ๆ ในการ attack หรือ จะเอาเรื่อง Ellipsetic Function ไปใช้ พวก Modular ท.บ. อะไรพวกนั้น ตอนนี้พี่ยังไม่อยากไปยุ่งครับ.

[tana]

ที่ผมเรียนนี่มันเป็น Applied Math น่ะครับ เลยเป็นแบบกึ่งเลขกึ่งคอม พวกวิชาที่เป็น Pure จริงๆ ก็เลยได้เรียนไม่มากน่ะครับ อย่าง Number Theory กับ Set Teory ก็ไม่ได้เรียนน่ะครับ เสียดายเหมือนกัน เลยว่าจะไปต่อโทเอาทาง Pure Math เลยน่ะครับ นี่ก็ ปี 4 ใกล้จะจบแล้วครับ

ทฤษฏีบทสุดท้ายของ แฟร์มาต์ มีอะไรที่เด็ก ม. 5-6 จะเข้าใจบ้างครับ
เช่น กรณ๊ n = 5 หรือ 6 หรือแนวคิดใหม่ๆเกี่ยวกับเรื่องนี้ หรือความรู้ทางคณิตศาสตร์ไหม่ที่เกิดขึ้นจากการศึกษาทฤษฏีบทสุกท้ายของแฟมาร์มาต์มีอะไรบ้างครับ

นอกจากเรื่องนี้แล้ว เรื่องไหนในทฤษฏีจำนวนที่เรียนแล้ว มันมหัสจรรย์หรือมันสนุกบ้างครับ
หรือมีเรื่องเกี่ยวกับทฤษฏีจำนวน เรื่องอะไรบ้างที่น่าสนใจที่มีคนหาคำตอบได้แล้ว และที่ยังเป้นคำถามต่อไปบ้างครับ

[nooonuii]

จริงๆแล้วหัวข้อในทฤษฎีจำนวนน่าสนุกทั้งนั้นเลยครับ เป็นวิชาที่เข้าใจง่ายเพราะเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวเลขซึ่งเรามองเห็นภาพ คำนวณได้ แต่ยิ่งง่ายมันก็ยิ่งยากครับ วิชานี้เป็นวิชาที่มี Conjecture เยอะแยะซึ่งนักทฤษฎีจำนวนทั่วโลกกำลังล่าคำตอบกันอยู่ ส่วนทาง computer science ก็จะมีกลุ่มหนึ่งซึ่งกำลังควานหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยค้นพบกันมา(ยูคลิดพิสูจน์ไว้แล้วว่ามันมีนับไม่ถ้วนดังนั้นเราหาตัว ที่ใหญ่ขึ้นได้เรื่อยๆ)
หาเพื่อทำลายสถิติโลกกันครับ(จริงๆเขามีประโยชน์ในทฤษฎีเข้ารหัส)

แต่ตอนนี้รู้สึกว่าทฤษฎีจำนวนจะเป็นวิชาที่ใหญ่มากครับ มีวิชาแขนงอีกหลายวิชาเลยทีเดียว อย่างเครื่องมือที่ใช้ solve Fermat Last Theorem นี่กำลังจะรวมตัวเป็นวิชาใหม่อีกแล้วครับ(จากที่ไม่มีอะไรเลย) และต้องมีความรู้พื้นฐานอีกเยอะ ถ้าจะให้เข้าใจทฤษฎีนี้อย่างแจ่มแจ้งคงต้องเรียนถึงระดับปริญญาโทหรือเอกแหละครับ