ฝึกอินทิเกรตกัน

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int\frac{1}{\sqrt{t}}\cos^2(\sqrt{t}+3)dt$

ให้ $u=\sqrt{t}+3$ ได้ $dt=2(u-3) du$
แทนในโจทย์ได้ $\int \frac{\cos u}{u-3}\cdot 2(u-3)du$
$=2\int \cos u du$
$=2\sin u +c$
$=2\sin (\sqrt{t}+3)+c$
ถูกหรือเปล่า
เพิ่มมาอีกครับ
Evaluate เมื่อ $h$ คือค่าคงตัว
$$\int \frac{dx}{(x^2+h^2)^{\frac{3}{2}}}$$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ให้ $u=\sqrt{t}+3$ ได้ $dt=2(u-3) du$
แทนในโจทย์ได้ $\int \frac{\cos u}{u-3}\cdot 2(u-3)du$
$=2\int \cos u du$
$=2\sin u +c$
$=2\sin (\sqrt{t}+3)+c$
ถูกหรือเปล่า
เพิ่มมาอีกครับ
Evaluate เมื่อ $h$ คือค่าคงตัว
$$\int \frac{dx}{(x^2+h^2)^{\frac{3}{2}}}$$

ดูเหมือนในโจทย์จะเป็น $cos^2 นะคับ$

[Ne[S]zA]

เอ้า!! ดูผิดอีกแล้ว ถ้าต่อจากเมื่อกี้
$2\int \cos^2u du$
$=2\int \frac{1}{2}(1+\cos2u) du$ เพราะ $\cos^2u=\frac{1}{2}(1+\cos 2u)$
$=\int 1 du + \int \cos2u du$
ให้ $v=2u$ ได้ $du=\frac{dv}{2}$
$=u+\int \frac{1}{2}\cos v dv$
$=u+\frac{1}{2}\sin 2u+c$
$=\sqrt{t}+3+\frac{1}{2}\sin 2(\sqrt{t}+3) +c$
ปล.ไม่มั่นใจ ตรวจด่วนครับอิอิ

[JamesCoe#18]

$\int\frac{1}{\sqrt{t}}cos^2(\sqrt{t}+3)$

$ให้ u=\sqrt{t}+3$

$dt=2\sqrt{t}du$

$\int2cos^2udu$

$\int\cos2u+1$

$\frac{sin2(\sqrt{t}+3)}{2}+(\sqrt{t}+3)+C$

[Ne[S]zA]

อ่อ ทำไมเป็น $\sqrt{t}-3$ อ่ะครับ โจทย์เป็นบวกอ่ะครับ
ปล.ขอบคุณมากนะครับ^ ^

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เอ้า!! ดูผิดอีกแล้ว ถ้าต่อจากเมื่อกี้
$2\int \cos^2u du$
$=2\int \frac{1}{2}(1+\cos2u) du$ เพราะ $\cos^2u=\frac{1}{2}(1+\cos 2u)$
$=\int 1 du + \int \cos2u du$
ให้ $v=2u$ ได้ $du=\frac{dv}{2}$
$=u+\int \frac{1}{2}\cos v dv$
$=u+\frac{1}{2}\sin 2u+c$
$=\sqrt{t}+3+\frac{1}{2}\sin 2(\sqrt{t}+3) +c$
ปล.ไม่มั่นใจ ตรวจด่วนครับอิอิ

ถูกต้องนะคร๊าบบบ
ส่วนข้อที่ลงไว้ที่หา พท.พีระมิดกับทรงกลม
อย่าลืมลองทำดูนะคับ Hint เป็นการหา พท.โดยการหมุนรอบแกนแบบ shell หรือ washer
หนะคับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

อ่อ ทำไมเป็น $\sqrt{t}-3$ อ่ะครับ โจทย์เป็นบวกอ่ะครับ
ปล.ขอบคุณมากนะครับ^ ^

แป่ว!! ผมพลาดเองคับ แก้ให้แล้วนะคับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ถูกต้องนะคร๊าบบบ
ส่วนข้อที่ลงไว้ที่หา พท.พีระมิดกับทรงกลม
อย่าลืมลองทำดูนะคับ Hint เป็นการหา พท.โดยการหมุนรอบแกนแบบ shell หรือ washer
หนะคับ

ผมยังไม่ได้อ่านการหาปริมาตรมานะครับ
แกน shell กับ แกน washer คืออะไรหรอครับ
ปล.รบกวนแสดงวิธีทำข้อ $\int ln (x^2+x+1) dx$ หน่อยนะครับมันค้างคาใจ

[JamesCoe#18]

Volume by Cylindrical Shells นี่คือชื่อเต็มๆคับ
เป็นการหาปริมาตรโดยวิธีทรงกระบอก
และก็ Volume by Slicing เป็นการหาปริมาตร
โดยวิธีเฉือนเป็นแผ่นบางๆแล้วค่อยๆอินทริเกรตรวมหนะคับ
มันเป็นเนื้อหาใน Cal ll คับ เรียนตอนอยู่ปี 1 อ่ะคับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

Volume by Cylindrical Shells นี่คือชื่อเต็มๆคับ
เป็นการหาปริมาตรโดยวิธีทรงกระบอก
และก็ Volume by Slicing เป็นการหาปริมาตร
โดยวิธีเฉือนเป็นแผ่นบางๆแล้วค่อยๆอินทริเกรตรวมหนะคับ
มันเป็นเนื้อหาใน Cal ll คับ เรียนตอนอยู่ปี 1 อ่ะคับ

ผมคงจะคิดไม่ออกหรอกครับ เพิ่งขึ้นม.4อ่ะ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ผมคงจะคิดไม่ออกหรอกครับ เพิ่งขึ้นม.4อ่ะ

ถ้าสนใจผมยังมรสไลด์เนื้อหาอยู่นะคับ ^^

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ถ้าสนใจผมยังมรสไลด์เนื้อหาอยู่นะคับ ^^

สนใจครับผม ขอหน่อยละกันนะครับ
ส่งข้อความมาก็ได้นะครับ
ขอบคุณมากนะครับ
ปล.เฉลยด้วยนะครับข้อนั้นอ่ะครับ

[JamesCoe#18]

ข้อ $ln(x^2+x+1)$ รอคุณV.Rattanapon มาเฉลยคับ ^^

[Mastermander]

$\displaystyle{\int_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx} }$
Let $x=\tan u$ , then integral becomes
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du}
\]
let \[
u = \frac{\pi }{4} - v
\]
thus
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{4} - v} \right) + 1} \right)\,dv}
\]
\[
\tan \left( {A - B} \right) = \frac{{\tan A - \tan B}}{{1 + \tan A\tan B}}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{4} - v} \right) + 1} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \tan v}}{{1 + \tan v}} + 1} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{2}{{1 + \tan v}}} \right)\,dv}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{2}{{1 + \tan v}}} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln 2 - \ln \left( {1 + \tan v} \right)\,dv}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \frac{\pi }{4}\ln 2 - \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + \tan v} \right)\,dv}
\]
As a result \[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \frac{\pi }{8}\ln 2
\]


แถมให้อีกข้อ
Given $a>0$. Evaluate $\displaystyle{ \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\tan^{-1}x}{x} \,\,d x }$

ปล. โจทย์ที่ผมโพสมีเฉลยอยู่แล้วในที่นี่ถ้าอยากรู้คำตอบเร็วก็ลองค้นหาดูก็ได้ครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

$\displaystyle{\int_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx} }$
Let $x=\tan u$ , then integral becomes
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du}
\]
let \[
u = \frac{\pi }{4} - v
\]
thus
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{4} - v} \right) + 1} \right)\,dv}
\]
\[
\tan \left( {A - B} \right) = \frac{{\tan A - \tan B}}{{1 + \tan A\tan B}}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{4} - v} \right) + 1} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \tan v}}{{1 + \tan v}} + 1} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{2}{{1 + \tan v}}} \right)\,dv}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{2}{{1 + \tan v}}} \right)\,dv} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln 2 - \ln \left( {1 + \tan v} \right)\,dv}
\]
\[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \frac{\pi }{4}\ln 2 - \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + \tan v} \right)\,dv}
\]
As a result \[
\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\tan u + 1} \right)\,du} = \frac{\pi }{8}\ln 2
\]


แถมให้อีกข้อ
Given $a>0$. Evaluate $\displaystyle{ \int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\tan^{-1}x}{x} \,\,d x }$

ปล. โจทย์ที่ผมโพสมีเฉลยอยู่แล้วในที่นี่ถ้าอยากรู้คำตอบเร็วก็ลองค้นหาดูก็ได้ครับ

ยากไปไหมคับขอแค่ธรรมดาๆก่อนนะคับ