my math problem collection

[Suwiwat B]

ข้อ 85.
$sin2n\alpha +sin2n\beta+sin2n\gamma$
$= 2sinn(\alpha+\beta)cos\frac{2n\alpha - 2n\beta}{2} + 2sinn\gamma cosn\gamma$
$= 2sinn(n\pi - n\gamma)cosn(\alpha - \beta) + 2sinn\gamma cosn\gamma$
$= (-1)^{n+1}2sinn\gamma cosn(\alpha-\beta) +2sinn\gamma cosn(\alpha+\beta)(-1)^n$
$= (-1)^n 2sinn\gamma[-cosn(\alpha-\beta)+cosn(\alpha+\beta)]$
$= (-1)^n 2sinn\gamma[-2sinn\alpha sinn\beta]$
$= (-1)^{n+1}4sinn\alpha sinn\beta sinn\gamma$

[Kirito]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

85. ถ้า $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ จงพิสูจน์ว่า

$$\sin{2n\alpha}+\sin{2n\beta}+\sin{2n\gamma} = (-1)^{n+1}4\sin{n\alpha}\sin{n\beta}\sin{n\gamma}$$

$=2sin(nA+nB)cos(nA-nB)+sin(2nC)$

$=2sinn(A+B)cosn(A-B)+2sin(nC)cos(nC)$

$=2sinn(\pi-C)cosn(A-B)+2sin(nC)cosn(\pi-(A+B))$

$=2[sinn(\pi)cosn(C)-sinn(C)cosn(\pi )]cosn(A-B)+2sin(nC)[cosn(\pi)cosn(A+B)+sinn(\pi)sinn(A+B)]$

$=-2[sinn(C)(-1)^n]cosn(A-B)+2sin(nC)[(-1)^ncosn(A+B)]$

$=(-1)^n[-2sinn(C)cosn(A-B)+2sin(nC)cosn(A+B)]$

$=(-1)^n(-1)2sin(nC)[cosn(A-B)-cosn(A+B)]$

$=(-1)^n(-1)2sin(nC)[2sin(nB)sin(nA)]$

$=(-1)^{n+1}(4)sin(nA)sin(nB)sin(nC)$

มึนนิดๆครับไม่รุว่ายุบตรงไหนพลาดรึป่าว

[~ArT_Ty~]

ข้อ 82 ลองให้ $x=\tan A , y=\tan B , z=tan C$ โดยที่ $0 \leqslant A,B,C \leqslant \frac{\pi}{2}$

จะได้ว่า $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \leftrightarrow A+B+C = \pi$

และจะได้ว่าโจทย์ก็คือ หาค่าสูงสุดของ $\cos A + \cos B + \cos C$ โดยมีเงื่อนไขตามข้างต้น

จาก $\frac{d^2}{dx^2}\cos x \leqslant 0$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$

$\therefore \cos x$ เป็น concave function เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$

$\therefore \cos A +\cos B+\cos C \leqslant 3\cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$ จาก Jensen's Inequality

ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$ เมื่อ $x+y+z=xyz$ คือ $\frac{3}{2}$

ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $x=y=z=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

Q.E.D.

[-InnoXenT-]

86. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{((3!)!)!}{3!} = k\cdot n!}$ เมื่อ $k,n \in \mathbf{Z}^+$ และ $n$ มีค่ามากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ จงหาค่าของ $k+n$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=97

87. จงพิสูจน์ว่าสมการ $(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x})\sin{4x} = 2$ ไม่มีคำตอบ

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...0&postcount=98

88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $N$

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} < 3$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=133

89. จงพิสูจน์ว่า

$$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < 2$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=106

90. จงหารากทั้งหมดของ

$$x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2=0$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=96

[cardinopolynomial]

ข้อ 7. $x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2=0$

ลองเเยกตัวประกอบดูจะได้ $(x-2)(x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$

$x=2,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{4}\pm\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i,\frac{-\sqrt{5}-1}{4}\pm\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$

[cardinopolynomial]

86. $\frac{(6!)!}{3!}=\frac{720!}{6}=120\times719!$

$k+n=839$

[Suwiwat B]

87. จัดรูปของสมการจะได้ $2sin(x+60^\circ)sin(4x)=2$
นั่นหมายความว่าสมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ
กรณีที่ 1 $sin(x+60^\circ)=1$ เเละ $sin(4x)=1$ พร้อมกัน
จาก $sin(x+60^\circ)=1$ จะได้ $x=30^\circ + k(360^\circ)$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ เป็นองศาของจำนวนเต็ม
จาก $sin(4x)=1$ จะได้ $x=22.5^\circ + m(90^\circ)$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ ไม่เป็นองศาของจำนวนเต็ม
ทำให้ได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ
กรณีที่ 2 $sin(x+60^\circ)=-1$ เเละ $sin(4x)=-1$ พร้อมกัน
จาก $sin(x+60^\circ)=-1$ จะได้ $x=210^\circ + k(360^\circ)$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ เป็นองศาของจำนวนเต็ม
จาก $sin(4x)=-1$ จะได้ $x=67.5^\circ + m(90^\circ)$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ ไม่เป็นองศาของจำนวนเต็ม
ทำให้ได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ
(อธิบายเอาง่ายไปหน่อย ได้ไหมครับเเบบนี้ ? )

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

87. จัดรูปของสมการจะได้ $2sin(x+60^\circ)sin(4x)=2$
นั่นหมายความว่าสมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $sin(x+60^\circ)=1$ เเละ $sin(4x)=1$ พร้อมกัน
จาก $sin(x+60^\circ)=1$ จะได้ $x=30^\circ + k(360^\circ)$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ เป็นองศาของจำนวนเต็ม
จาก $sin(4x)=1$ จะได้ $x=22.5^\circ + m(90^\circ)$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ ไม่เป็นองศาของจำนวนเต็ม
ทำให้ได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ (อธิบายเอาง่ายไปหน่อย )

ผมว่า มันขาดกรณี ที่มัน เท่ากับ $-1$ พร้อมกันนะ

[Suwiwat B]

ข้อ 89. ผมคิดมั่วๆออกมาเเบบนี้นะครับ
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < \sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$
อินทิเกรตหาค่า $A$ ออกมาได้ $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{100}-\frac{1}{4 \times 100^4} < 2$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < 2$ เเปลกๆ !!!

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 89. ผมคิดมั่วๆออกมาเเบบนี้นะครับ
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < \sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$
อินทิเกรตหาค่า $A$ ออกมาได้ $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{100}-\frac{1}{4 \times 100^4} < 2$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < 2$ เเปลกๆ !!!

http://en.wikipedia.org/wiki/Integra...or_convergence

[Suwiwat B]

อ่า ไม่ค่อยเข้าใจเท่าไรอะครับ คุณ Innoxent

[-InnoXenT-]

อ่อ คือประเด็นมันอยู่ที่บรรทัดนี้ครับ :

$$\int_{N}^{M+1}f(x) dx \leq\sum_{n=N}^M f(n)\leq f(N)+\int_N^Mf(x) dx$$

ดังนั้น จากที่คุณคิดมาตอนแรก

$$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3+1}{x^5} dx$$

ถ้าอ้างจาก ข้างบน ส่วนท้ายมันควรจะเป็นแบบนี้นะครับ

$$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5} \leq \frac{n^3+1}{n^5}\left|_{n=1}\,\right. +\int_{1}^{100}\frac{x^3+1}{x^5} dx \approx 3.24$$

[Suwiwat B]

อ๋อ โอเคครับ ขอบคุณมากครับ

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 89. ผมคิดมั่วๆออกมาเเบบนี้นะครับ
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < \sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$
อินทิเกรตหาค่า $A$ ออกมาได้ $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{100}-\frac{1}{4 \times 100^4} < 2$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < 2$ เเปลกๆ !!!

$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$ มาได้ยังไงหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

89. จงพิสูจน์ว่า

$$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < 2$$

$\dfrac{n^3+1}{n^5+1}\leq \dfrac{1}{n(n-1)}$ ทุก $n\geq 2$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}=1+\sum_{n=2}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}\leq 1+\sum_{n=2}^{100}\frac{1}{n(n-1)}=2-\dfrac{1}{100}$