ข้อสอบ TUMSCO ครั้งที่ 9, รอบที่ 1

[buffallo ok]

1.4 2.2 6.3 7.4 8.3 10.1 11.4 14.1 16.15 17.1142 18.11,-11 19.1/2012 20.1/6 21.0 22.8150
27.1/2 32.3root3/2

นี่คือคำตอบตอนที่ที่ผมสอบ(ทำไม่ได้หลายข้อ)

[truetaems]

ข้อสอบที่โพสไว้ Linkเสียแล้วครับ T_T

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

พิจารณาความสมมาตรของกราฟ $y^2+5\left|xy\right|+\left|x\right|=9 $ จะเห็นได้ว่ามีความสมมาตรทั้งสี่จตุภาค ดังนั้นจึงพิจารณา $$\int_{0}^{9}\frac{1}{2}(-5x+\sqrt{-4x+25x^2+36}) dx =\frac{896ln2}{125}-\frac{39}{50}$$ จึงได้ว่า พื้นที่คือ $$4(\frac{896ln2}{125}-\frac{39}{50})=\frac{3584ln2}{125}-\frac{78}{25}$$

ใช้อินทิเกรตฟังก์ชันของ y น่าจะง่ายกว่าเยอะครับ

$$x=-\frac{y^2-9}{5y+1}=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{25}+\frac{224}{125} \cdot \frac{5}{5y+1}$$

อินทิเกรตตั้งแต่ $y=0$ ถึง $y=3$ ได้
$$\Big[ -\frac{1}{10}y^2+\frac{1}{25}y+\frac{224}{125} \ln (5y+1) \Big]_{y=0}^3$$
เท่ากับ
$$\frac{896}{125} \ln 2 - \frac{39}{50}$$
ที่เหลือก็คูณ 4 เข้าไปเป็น
$$\frac{3584}{125} \ln 2 - \frac{78}{25}$$
ได้คำตอบเท่ากันครับ

[PP_nine]

เคยเห็นว่ามีสองข้อที่น่าสนใจดี
_______________________________________________________________________________

1. ให้ $a,b \in \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ $\log (1+a^2) - \log ab - 2 \log 2 = 1 - \log (100+b^2)$

จงหาค่า $a+b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

Solution

ชัดเจนว่าไม่มีตัวใดมีค่าเป็น 0 ได้ (ดูจาก $\log ab$)

จัดรูปเป็น $a^2b^2+100a^2+b^2+100=40ab$

และสังเกตว่า LHS แต่ละพจน์เป็นบวกเสมอ ใช้ AM-GM กับ LHS ได้ว่า

$a^2b^2+100a^2+b^2+100 \ge 40ab$

นั่นคือ อสมการเป็นสมการ ซึ่งเกิดเมื่อ $a^2b^2=100a^2=b^2=100$

ดังนั้น $(a,b)=(-1,-10),(1,10)$

ได้ $a+b=-11,11$

_______________________________________________________________________________

2. หาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$\left\lfloor\,\frac{n}{1!}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{n}{2!}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{n}{3!}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\,\frac{n}{2554!}\right\rfloor = 2011$$

Solution

จำนวนเต็ม n ซึ่งสอดคล้องสมการต้องไม่เป็นลบ เพราะทำให้ LHS ติดลบ

เพราะอนุกรม $\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots=e$ ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว จึงใช้การประมาณว่า $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{2554!} = e-1$

และเพราะ $\left\lfloor\, x \right\rfloor \le x$ สำหรับทุกจำนวนจริง x ดังนั้น
$$2011 \le n \Big( \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{2554!} \Big) < n(e-1)$$
$$n > \frac{2011}{e-1} > 1170$$
แทน $n=1171$ ได้ LHS=2009

แทน $n=1172$ ได้ LHS=2011

แทน $n=1173$ ได้ LHS=2012

และถ้ามากกว่านี้ก็ยิ่งทำให้ LHS มีค่าเพิ่มขึ้น คำตอบจึงเป็น $n=1172$ เพียงคำตอบเดียว

[-InnoXenT-]

อยากได้ข้อสอบชุดนี้จังเลยครับ ใครมีเก็บไว้บ้าง

[กิตติ]

ผมแปลงจากไฟล์ภาพมาเป็นไฟล์pdfแล้วอัพขึ้นmediafireแล้วครับคุณ-InnoXenT-
ลองเข้าไปโหลดดูครับ
TUMSCO_9th