IMSO 2551 รอบ2

[RoSe-JoKer]

......เก่งกันจังเลยนะครับ มีผมโง่สวะ ตกรอบอยู่คนเดียว ......

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ที่ผมได้ยินมา โจทย์ข้อ 2, 6 มันมีใจความเหมือนข้างล่างน่ะครับ ก็เลย quote มาแก้ให้นิดหน่อย (ถ้าผมเข้าใจผิดก็บอกด้วยนะครับ)



ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้แล้ว ข้อ 2 ผมจัดรูปได้เป็น $$ \big(x+ \frac{2551a-2008b}{2008^2+2551^2}\big)^2 + \big(y+ \frac{2008a+2551b}{2008^2+2551^2}\big)^2 \leq \frac{1623^2}{2008^2+2551^2}$$

เพราะ $ \frac{1623^2}{2008^2+2551^2} < \frac{1}{4} $

แสดงว่าวงกลมรัศมีน้อยกว่า $ \frac{1}{2}$ หน่วย

และเห็นได้ชัดว่าวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า 1 หน่วย ไม่สามารถ cover lattice หรือคู่อันดับของจำนวนเต็มได้มากกว่า 1 จุด เนื่องจาก lattice 2 จุดใดๆห่างกันมากกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วยเสมอ
-------------------------------------------------------------------------------------
6. ถ้าให้ $ A_1, B_1, C_1 $ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ 1 โดย $A_1,B_1,C_1$ ตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับ และสำหรับ $n > 1$ แล้ว $ A_n ,B_n ,C_n$ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ n โดย $A_n,B_n,C_n$ ตรงข้ามมุม $A_{n-1},B_{n-1},C_{n-1}$ ตามลำดับ

เราสามารถเขียน recurrence relation ได้ไม่ยากว่า $ A_{n+1} = \frac{-1}{2}A_n +\frac{\pi}{2}$ (ส่วน $B_n ,C_n$ define คล้ายกัน ) subject to $ A_0=A , B_0=B ,C_0=C$

solve ออกมาจะได้ $$A_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(A- \frac{\pi}{3})$$ $$B_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(B- \frac{\pi}{3})$$ $$C_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(C- \frac{\pi}{3})$$

จากสูตรที่ได้ เรา impose condition ที่ว่ามี 2 คู่เป็นสามเหลี่ยมคล้ายเข้าไป จากนั้นทำอะไรจุกจิกเกี่ยวกับพีชคณิตนิดหน่อย จะพบว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ตามมาทุก n ก็จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
p.s. ส่วนใครที่ post ว่า มั่วข้อ 4 ถูกเนี่ย ถ่อมตัวไปหรือเปล่าครับ ผมคนนึงล่ะที่ไม่เชื่อว่าเลข 7 มาจากการมั่ว

มีคำถาม 2 คำถามครับ
1.คุณ passer-by ใช้เวลาคิด 2 ข้อนี้นานแค่ไหนเหรอครับ
2.ทาง สสวท. เขาให้ใช้เรื่อง recurrence relation ได้ด้วยเหรอครับ?

แต่ว่า solution สุดยอดมากครับ...

Edit:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

นั่นสิครับ แต่คงไม่มีใครเก่งไปกว่าคุณ owlpenguin หรอกครับ
ได้ตั้งสามข้อ 5555+

ผมไม่เก่งหรอกครับ... ข้อสอบรอบนี้ผมทำได้นิดเดียว ผมว่าผมมีสิทธิ์ตกรอบสูงมากๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

......เก่งกันจังเลยนะครับ มีผมโง่สวะ ตกรอบอยู่คนเดียว ......

อย่าว่าตัวเองสิครับ เดินมาได้ขนาดนี้ก็สุดยอดแล้วนะครับ คิดในแง่กลับกัน พี่ RoSe-JoKer ก็เป็น 1 ใน 100 ในระดับมัธยมของไทยนะครับ (ก็สสวท.รอบ 2 + พวก fossil ก็ประมาณร้อยกว่าคน) แล้วผลมันก็ยังไม่ได้ประกาศสักหน่อยนี่ครับ

[dektep]

ผมว่าผมก็มีสิทธิ์ตกรอบสูงมากๆๆๆๆ เช่นกันครับ
คิดว่าปีนี้จะตัดซักกี่คะแนนครับ
เครียดมากๆๆ

[Necron]

ข้อสอบคอมบิอ่านโจทย์ยังไงก็ไม่รู้เรื่อง งงมาก หมายความว่าไง ไอยาสองชนิดใดๆต้องใช้กับหนูหนึ่งใน 5 นี้ คือ ทุกตัวในหนึ่งส่วนนี้ต้องใช้ทั้งสองชนิด
หรือใช้แค่อย่างใดอย่างหนึ่ง

[CmKaN]

มีแต่เทพๆทั้งนั้นเลยครับ มีแต่ทำได้อย่างน้อย3ข้อ อยากทราบท่านเทพๆนิดนึงครับ

ที่เขาอธิบายว่าไม่มีการสอบสสวท.แล้วเขาจะรับยังไงเหรอครับ พอดีว่าตอนนั้นง่วงๆฟังไม่รู้เรื่องครับ

ปล.ข้อ6 recurrence relation คืออะไรเหรอครับ แล้วถ้าไม่ใช้จะคิดยังไงเหรอครับ

[dektep]

เห็นเขาบอกว่าต้องผ่านสอวน.เท่านั้นครับ
คือไม่มีสสวท.รอบแรกแต่ให้ไปผ่านสอวน.แทน
ผมก็มีแววว่าต้องเข้าสอวน.แน่ ๆ เลย
recurrence relation ก็ความสัมพันธ์เวียนเกิดในครับ มีอยู่ในเล่มคอมบิสอวน.เล่มเทา

[Necron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

วันสอง : โจทย์ข้อห้าอันแรกต้องพิสูจน์ว่าเป็นด้านขนานนะครับ
ข้อหนึ่ง ถ้า $2008n+2007$ เป็น prime จบ
สมมติว่ามันเป็นจำนวนประกอบ
ให้ $k | 2008n+2007$ $\therefore \frac{2008n+2007}{k}$ เป็นตัวประกอบของ $2008n+2007$ ด้วย
เห็นได้ชัดว่า $k$ เป็นจำนวนคี่
ได้ว่า $k^2 \equiv 1 (mod 8)$
$\therefore 8 | k+\frac{2008n+2007}{k}$

ลืมคิดกรณี 2008n+2007 เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ละครับ

[CmKaN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

เห็นเขาบอกว่าต้องผ่านสอวน.เท่านั้นครับ
คือไม่มีสสวท.รอบแรกแต่ให้ไปผ่านสอวน.แทน
ผมก็มีแววว่าต้องเข้าสอวน.แน่ ๆ เลย
recurrence relation ก็ความสัมพันธ์เวียนเกิดในครับ มีอยู่ในเล่มคอมบิสอวน.เล่มเทา

อืมครับแต่ผมสงสัยอีกนิดนึงครับ ที่เขาบอกว่าจะมีรอบเก็บตกสำหรับคนที่ผ่านสอวน.
มาแล้วเนี่ยมันคือรอบไหนเหรอครับดันมาพูดตอนหิวๆ

ปล.คุณdektepคงติดอยู่แล้วเห็นเทพจะตาย

[mathstudent2]

ช่วยจัดรูปให้หน่อยนะครับ

$a=(x-2)(x+3)$

$b=(x-12)(x+13)$

$c=(x-22)(x+23)$

$d=(x-32)(x+33)$

$e=(x-42)(x+43)$

แก้สมการ $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{cd} + \frac{1}{de} + \frac{1}{ea} = \frac{1}{ac} + \frac{1}{ce} + \frac{1}{eb} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{da}$$

ขออภัยที่ฟรอนท์ไม่ดี ......

พวกที่สอบคงทำได้ทุกคนนะ แต่ผมทำไม่ได้

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Necron

ลืมคิดกรณี 2008n+2007 เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ละครับ

$2008n+2007 \equiv 3 (mod 4)$ นิครับ
มันจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ยังไง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

อืมครับแต่ผมสงสัยอีกนิดนึงครับ ที่เขาบอกว่าจะมีรอบเก็บตกสำหรับคนที่ผ่านสอวน.
มาแล้วเนี่ยมันคือรอบไหนเหรอครับดันมาพูดตอนหิวๆ

ปล.คุณdektepคงติดอยู่แล้วเห็นเทพจะตาย

เรื่องนี้ผมก็ไม่ทราบครับ แต่มีอาจารย์ที่นั่นบอกว่าจะมีรอบแก้ตัวกับพวกที่ตกรอบนี้ครับ
ไม่แน่ใจเหมือนกัน
ปล.ผมคงไม่ติดหรอกครับได้น้อยจะตายไป

[square1zoa]

ผมนี่แหละที่ไม่มีโอกาสติดเลย เฮ้อเศร้า

แต่ก้ไม่มีใครเอาโจทย์มาลงเลย เศร้า

[SPLASH]

เห้อ ทำได้กี่ข้อ กันล่ะคร้าบบบบบ

ถ่ม ตัวเองกันจิ๊งๆ แต่พอถึงสนามสอบ psycho

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2

ช่วยจัดรูปให้หน่อยนะครับ

$a=(x-2)(x+3)$

$b=(x-12)(x+13)$

$c=(x-22)(x+23)$

$d=(x-32)(x+33)$

$e=(x-42)(x+43)$

แก้สมการ $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{cd} + \frac{1}{de} + \frac{1}{ea} = \frac{1}{ac} + \frac{1}{ce} + \frac{1}{eb} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{da}$$

ยังไงข้อนี้คงหนีการคูณเลขจำนวนมากไม่พ้น

ใครมีวิธีที่ดีกว่้านี้ก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ

$a=(x-2)(x+3)=x^2+x-2\cdot 3$

$b=(x-12)(x+13)=x^2+x-12\cdot 13$

$c=(x-22)(x+23)=x^2+x-22\cdot 23$

$d=(x-32)(x+33)=x^2+x-32\cdot 33$

$e=(x-42)(x+43)=x^2+x-42\cdot 43$

ให้ $u=x^2+x,p=2\cdot 3,q=12\cdot 13,r=22\cdot 23,s=32\cdot 33,t=42\cdot 43$

LHS - RHS = $\dfrac{1}{a}\Big(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\Big)+\dfrac{1}{b}\Big(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{d}\Big)+\dfrac{1}{c}\Big(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{e}\Big)+\dfrac{1}{d}\Big(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{a}\Big)+\dfrac{1}{e}\Big(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\Big)$

ดังนั้น

$\dfrac{q-r}{(u-p)(u-q)(u-r)}+\dfrac{r-s}{(u-q)(u-r)(u-s)}+\dfrac{s-t}{(u-r)(u-s)(u-t)}+\dfrac{t-p}{(u-s)(u-t)(u-p)}+\dfrac{p-q}{(u-t)(u-p)(u-q)}=0$

$(q-r)(u-s)(u-t)+(r-s)(u-t)(u-p)+(s-t)(u-p)(u-q)+(t-p)(u-q)(u-r)+(p-q)(u-r)(u-s)=0$

$mu - n = 0$

$m,n$ หาเองนะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

มีคำถาม 2 คำถามครับ
1.คุณ passer-by ใช้เวลาคิด 2 ข้อนี้นานแค่ไหนเหรอครับ
2.ทาง สสวท. เขาให้ใช้เรื่อง recurrence relation ได้ด้วยเหรอครับ?

ข้อ 6 ไม่เกิน 20 นาทีครับ
ข้อ 2 จะนานกว่า เพราะเสียเวลาตอน จัดรูป กับตอน bound ให้น้อยกว่า $ \frac{1}{4}$
ความเห็นของผมคือ ตอน bound วุ่นวายกว่าตอนจัดรูปเยอะเลยครับ เพราะพยายามขุดหลายอสมการมาช่วยแต่ก็ไม่ออก $\frac{1}{4}$ ซักที จนสุดท้ายต้องคิดเลขอึด โดยลองหา $z^2$ ที่ใกล้เคียง $ 2008^2+2551^2$ แล้วก็เลย surprise มากๆว่า มันได้ $z$ ประมาณ 3246กว่าๆ ครับ ก็เลยได้ $\frac{1}{4}$ ออกมา

ส่วนที่ถามว่า สสวท. ให้ใช้ recurrence ได้หรือเปล่า ผมคิดว่า เขาไม่น่าจะจำกัดวิธีคิดนะครับ แต่ถ้าถามว่ามันยุติธรรมหรือไม่ สำหรับเด็กที่เคยเรียนเรื่องนี้มาแล้วนอกห้องเรียน กับเด็กที่ยังไม่เคยเรียน อันนี้ก็เป็นอีกประเด็นนึงครับ ซึ่งไม่ขอออกความเห็น

p.s. ของวันที่ 2 ผมชอบข้อ double counting ที่เป็นหนูทดลองยา มากที่สุดเลยครับ เพราะวัดไอเดียทาง combinatorics ได้ดีทีเดียว

[artpiggo]

ความจริง ถ้าทุกคนพร้อมใจส่งกระดาษเปล่า ก็จะได้เหรียญทองกันทุกคนเเล้วเพราะคะเเนนเท่ากันหมด หึหึ

ว่าเเต่ประกาศผลเมื่อไหร่