ช่วยหน่อยครับ ผมจะร้องไห้อยู่เเล้ว APMO 2002 กับ 2007

[Keehlzver]

APMO 2002
กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

ข้อนี้ทำเมื่อคืน 5 ชม.ติดๆไม่ออกสักทีครับ ผมเห็นเป็นโจทย์เเบบฝึกหัดใน Trigonometry Substitution ที่ Math Reflection พอลองทำดูเเล้ว ผมใช้เงื่อนไขที่ว่า $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ เเล้วเเทนค่า $Cyclic(x=\frac{1}{ab}=tanAtanB)$ จะได้อสมการ $\Sigma secC\sqrt{tanAtanB}\geqslant tanAtanBtanC+\Sigma \sqrt{tanAtanB}$ เมื่อ $A,B,C$ ถูกนิยามโดย $Cyclic(A=\frac{\pi -\alpha }{2})$ ถึงตรงนี้ก็ทำไม่ได้เเล้วครับผม

เเล้วก็อีกข้อนึง

APMO 2007
กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า
$$\Sigma \frac{x^2+yz}{2x^2(y+z)}\geqslant 1$$

ข้อนี้หลายอาทิตย์ยังไม่มีไอเดียจะ Crack เลยครับ Bound ก็ไม่ได้ อสมการก็ Strong เเบบสุดๆเลย ผม Mark ว่า http://www.imomath.com/othercomp/Ap/ApMO07.pdf ในนี้ตรงโจทย์จะไม่้ติดรูท ผมขอความกรุณาจากทุกๆท่านด้วยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

APMO 2002
กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

$xyz=xy+yz+zx$

After squaring on both sides and eliminating similar terms, we get the inequality

$\sqrt{(x+yz)(y+zx)}+\sqrt{(y+zx)(z+xy)}+\sqrt{(z+xy)(x+yz)}\geq \sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

Now apply Cauchy-Schwarz inequality 3 times.

$\sqrt{xy}+\sqrt{xyz^2}\leq ......?$

$\sqrt{yz}+\sqrt{x^2yz}\leq ......?$

$\sqrt{zx}+\sqrt{xy^2z}\leq ......?$

[nooonuii]

See here

APMO2007

[Keehlzver]

เเบบนี้เหรอครับ $\Sigma \sqrt{xy}+\Sigma \sqrt{xyz^2}\leqslant \Sigma \sqrt{(z+xy)(1+xyz)}$ พอถึงตรงนี้เเล้วทำไงต่อเหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

เเบบนี้เหรอครับ $\Sigma \sqrt{xy}+\Sigma \sqrt{xyz^2}\leqslant \Sigma \sqrt{(z+xy)(1+xyz)}$ พอถึงตรงนี้เเล้วทำไงต่อเหรอครับ

ไม่ใช่ครับ

$\sqrt{xy}+\sqrt{xyz^2}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+\sqrt{yz}\cdot \sqrt{zx}$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน

[Keehlzver]

เคลียร์เเล้วครับ $\Sigma \sqrt{xy}+\Sigma \sqrt{xyz^2}\leqslant \Sigma \sqrt{(x+yz)(y+zx)}$ ขอบคุณคุณ Nooonuii มากครับ

อีกเรื่องนึงคือโจทย์ $\Sigma \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geqslant 1$ กับ $\Sigma \frac{x^2+yz}{2x^2(y+z)}\geqslant 1$ อันไหนเป็น APMO 2007 ข้อที่ใช้สอบกันจริงๆอ่ะครับ เพราะเว็บ Imomath กับ Mathlink มันเป็นคนละตัวกัน คุณ Nooonuii ช่วย Hint โจทย์ตัวที่ไม่ติดรูทให้หน่อยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

อีกเรื่องนึงคือโจทย์ $\Sigma \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geqslant 1$ กับ $\Sigma \frac{x^2+yz}{2x^2(y+z)}\geqslant 1$ อันไหนเป็น APMO 2007 ข้อที่ใช้สอบกันจริงๆอ่ะครับ เพราะเว็บ Imomath กับ Mathlink มันเป็นคนละตัวกัน คุณ Nooonuii ช่วย Hint โจทย์ตัวที่ไม่ติดรูทให้หน่อยนะครับ

ผมว่าโจทย์เป็นแบบแรกน่ะครับ คงมีการพิมพ์ผิด

ส่วนโจทย์แบบที่สองน่าจะเป็นแบบนี้นะครับ

$\dfrac{x^2+yz}{x^2(y+z)}+\dfrac{y^2+zx}{y^2(z+x)}+\dfrac{z^2+xy}{z^2(x+y)}\geq 27$

ผมยังไม่ได้ลองพิสูจน์ ว่าจริงหรือเปล่า

[Keehlzver]

ขอบคุณมากครับ

[mathstudent2]

ของ APMO 2002
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วโคชี ดีมั้ยครับ