ข้อสอบ TUMSCO ครั้งที่ 9, รอบที่ 1

[Eng_gim]

ข้อสอบ TUMSCO(TUMSCO : Triam Udom Suksa Interschool Mathematical Scientific and Computer Olympiad. ) ครั้งที่ 9, รอบที่ 1

(6 มค. 2553 ,โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา)

ช่วยกันเฉลยนะครับ^^.

ปล. โหลดนานกันหน่อยนะครับกลัวภาพเล็กแล้วจะไม่ชัด ออ!จะหดให้มันเล็กลงก็กด CTRL+สกอร์เมาส์ได้นะครับ.
ปล2. ได้มาแค่รอบแรกนะครับ T^T.

[Amankris]

แอบเห็น Error ของผู้ออกข้อสอบด้วย

[LightLucifer]

แอบเอาของรอบสองมาฝาก(เท่าที่จำได้)

$x,y\in \mathbb{R}\wedge x^2+y^2=1$ แล้ว $\frac{y+5}{x+5}$ มีค่ามากสุดเท่าใด

$F:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \wedge F(Z)= |Z^3-2Z+2|$ ถ้า $|Z|=1$ แล้ว ค่าสูงสุดของ $F(Z)$ มีค่าเท่าใด

จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{1+4^{2^n}}$

จงหาจำนวนของ$(x,y,z)$ โดยที่ $x,y,z\in \mathbb{N} \wedge 101|(x^4+y^4+z^4+51(x^2+y^2+z^2)^2)$

ที่เหลืออีก 6 ข้อจำไม่ได้แล้วครับ ใครไปสอบก็ช่วยกันลงหน่อยนะครับ

[Yuranan]

ข้อ 22 ครับ จากผลบวกของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n จะได้ $$\frac{n(n+1)}{2}$$ พิจารณาค่าเฉลี่ย n-1 ค่าเมื่อลบออกไปหนึ่งค่า จะเห็นได้ว่า $$\frac{8150\cdot 8151}{2}/8149\simeq 4076.000123$$ ดังนั้นจำนวนที่ลบออกไปคือ $$\frac{8150\cdot8151}{2}-4075\cdot8149=8150$$ ครับ

[Yuranan]

ข้อ $x^2+y^2=1$ ...1) หาค่ามากสุดของ $\frac{y+5}{x+5}$ จาก 1) จึงให้ $x=cos\theta ,y=sin\theta$ ต้องการหาค่ามากสุดแสดงว่า $cos\theta\leqslant 0$ จึงทำการหาอนุพันธ์ของ $\frac{sin\theta+5}{-cos\theta+5}$ ...2) จึงได้ว่า $cos\theta-sin\theta=0.2$ จึงได้ $sin(2\theta)=0.96$ จึงได้ว่า $cos\theta=0.8,sin\theta=0.6$ แทนใน 2) ได้ค่ามากสุดคือ $\frac{4}{3}$ ครับ

[กิตติ]

ข้อสอบยากจริงๆ...พริ้นออกไปดู นั่งทำแล้ว หงายเก๋งเลยครับ
คนออกนี่ออกได้โหดจริงๆ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อสอบยากจริงๆ...พริ้นออกไปดู นั่งทำแล้ว หงายเก๋งเลยครับ
คนออกนี่ออกได้โหดจริงๆ

เห็นด้วยกับ คุณกิตติเป็นอย่างยิ่งครับ

[Suwiwat B]

ผมนั่งคิดข้อ 30 อยู่ประมาณ 2 ชั่วโมงอะครับ !!!! ได้ออกมา
$\frac{7168}{125}ln2 - \frac{78}{25}$
งงๆๆๆ แปลกๆๆ อะครับ คิดเเบบไปถึงอินทิเกรต $sec$ เลยอะครับ
มีใครได้เท่าไรกันบ้างอะครับ !!!!

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ผมนั่งคิดข้อ 30 อยู่ประมาณ 2 ชั่วโมงอะครับ !!!! ได้ออกมา
$\frac{7168}{125}ln2 - \frac{78}{25}$
งงๆๆๆ แปลกๆๆ อะครับ คิดเเบบไปถึงอินทิเกรต $sec$ เลยอะครับ
มีใครได้เท่าไรกันบ้างอะครับ !!!!

พิจารณาความสมมาตรของกราฟ $y^2+5\left|xy\right|+\left|x\right|=9 $ จะเห็นได้ว่ามีความสมมาตรทั้งสี่จตุภาค ดังนั้นจึงพิจารณา $$\int_{0}^{9}\frac{1}{2}(-5x+\sqrt{-4x+25x^2+36}) dx =\frac{896ln2}{125}-\frac{39}{50}$$ จึงได้ว่า พื้นที่คือ $$4(\frac{896ln2}{125}-\frac{39}{50})=\frac{3584ln2}{125}-\frac{78}{25}$$

[Suwiwat B]

คุณ Yuranan คิดเหมือนผมเลยครับ .... เเต่ทำไมมันได้เลขไม่เหมือนกันก็ไม่รู้ .... ขอผมไปดูมาใหม่ก่อนก็เเล้วนะครับ

[yellow]

ข้อ 22)

$\sum_{n = 1}^{n} /n = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$

ถ้าคิดกรณียังไม่มีการลบข้อมูล จะได้ n = 8149

แต่มีการลบข้อมูลออก 1 ตัว ดังนั้น n > 8149

การเพิ่มข้อมูล 1 ตัว หรือ การลบข้อมูลออก 1 ตัว จะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเปลี่ยนแปลงได้สูงสุด คือ $\frac{1}{2}$

ดังนั้นเขียน 1 - 8150 และตัวที่ถูกลบออก คือ 8150

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

คุณ Yuranan คิดเหมือนผมเลยครับ .... เเต่ทำไมมันได้เลขไม่เหมือนกันก็ไม่รู้ .... ขอผมไปดูมาใหม่ก่อนก็เเล้วนะครับ

ได้ใช้ $$ \int_\,(\sqrt{u^2+a^2} )du=\frac{1}{2}u\sqrt{u^2+a^2}+\frac{1}{2}a^2 ln(\left|\,\right.u+\sqrt{u^2+a^2}\left.\,\right| )$$ อันนี้ไหมครับ

[Suwiwat B]

ไม่ได้ใช้อะครับ ... คือผมใช้การแทนที่ด้วยตรีโกณเเล้วใช้ by part ต่ออีกอะครับ

[Yuranan]

ข้อ 20 ตอนสองครับ จาก $z^{36}=2^{36}$ จะเห็นได้ว่ารากของสมการนี้จะอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมรัศมีสองหน่วยซึ่งมีทั้งหมด 36 ราก พิจารณารากที่ระยะห่างของรากที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือห่างกันไม่เกินสองหน่วย แสดงว่ารากสองรากนั้นจะอยู่ห่างกันได้ไม่เกิน 60 องศาดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{1}{6}$ ครับ

[LightLucifer]

ข้อ 14 โจทย์ผิดนะครับเพราะคิดแล้วจะได้พหุนาม 0