คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 1/2011

[nongtum]

กรุณาอ่านคำสั่งในลิงค์โจทย์แต่ระดับ และคำชี้แจงในกระทู้กฎ กติกาฯ ให้เข้าใจก่อนส่งคำตอบในห้องส่งคำตอบ มิฉะนั้นจะไม่ได้คะแนน
หมดเวลาส่งคำตอบ วันพฤหัสบดีที่ 30 มิถุนายน 2554 เวลา 23:59 น.
หากมีผู้ขอส่งคำตอบก่อน ให้ตรวจได้หลังจากวันศุกร์ที่ 17 มิถุนายน 2554 เวลา 12:00 น.

หากมีข้อสงสัยหรือสอบถามเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึง 22:30 น. วันศุกร์ที่ 10 มิถุนายน 2554 ครับ

pdf version (ขอให้ยึดเอาตามไฟล์เป็นหลักนะครับ)

web version

โอลิมปิก

คำสั่ง: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
โจทย์ทุกข้อ คะแนนเต็มข้อละ 5 คะแนน

1. ให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$
จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc} (a^3-b^3)^2+3\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2+6(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \ge 0$$
(เสนอโดย คุณ LightLucifer)

2. สำหรับจำนวนนับ $n$ กำหนด $f_n=[2^n\sqrt{69}]+[2^n\sqrt{96}]$ จงพิสูจน์ว่า จะมีจำนวนเต็มคู่มากมายไม่จำกัดและจำนวนเต็มคี่มากมายไม่จำกัดที่ปรากฏในลำดับ $f_1,f_2,\dots$

(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)

3. เราจะเรียกลำดับของจำนวนจริงบวก $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ความยาว $n$ ว่า "อาเบะ" ก็ต่อเมื่อ
$$a_1\geq \frac{a_1+a_2}{2}\geq \dots \geq \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$$
ให้ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ และ $y_1,y_2,\dots ,y_n$ เป็นลำดับอาเบะความยาว $n$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i\geq\frac{1}{n}\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\left(\sum_{i = 1}^{n}y_i\right)$$
(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)

4. ในการประชุมระหว่างประเทศไทยกับประเทศยาราไนเกี้ยนครั้งที่ $69$ ซึ่งมีผู้เข้าประชุมจากไทย $96$ คนและจากประเทศยาราไนเกี้ยนจำนวนหนึ่ง(ไม่ทราบจำนวน) หลังจากประชุมไปได้สักพักที่ประชุมก็ได้ค้นพบสิ่งมหัศจรรย์ที่เกิดขึ้นในการประชุมครั้งนี้!! นั่นคือไม่ว่าเราจะเลือกผู้เข้าประชุมที่เป็นคนไทยมาอย่างน้อย $69$ คนใดๆและเลือกผู้เข้าประชุมจากประเทศยาราไนเกี้ยนทั้งหมดที่รู้จักกับคนไทยในกลุ่มที่เลือกมาในตอนแรกอย่างน้อย $1$ คนให้มาตั้งเป็นชนกลุ่มน้อย พวกเขาพบว่าในชนกลุ่มน้อยนี้จะมีจำนวนของชาวยาราไนเกี้ยนมากกว่าจำนวนคนไทยอยู่ $1$ คนเสมอ
จงพิสูจน์ว่าจะต้องมีผู้เข้าประชุมที่เป็นชาวยาราไนเกี้ยนซึ่งรู้จักกับผู้เข้าประชุมคนไทยอย่างน้อย $28$ คน
(หมายเหตุ : ในการประชุมครั้งนี้ไม่มีผู้เข้าประชุมคนใดเป็นลูกครึ่ง ไทย-ยาราไนเกี้ยน)

(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)

5. กำหนดให้ $x,y,z\in \mathbb{R^+}$ จงหา ชุดของ $x,y,z$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$$x+y+z=x^2+y^2+z^2+18xyz=1$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

6. กำหนดให้ $x,y,z$ เเทนความยาวด้านของสามเหลี่ยมใดๆ เเละ $s=\dfrac{x+y+z}{2}$ ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้คือ $\sqrt{s}$ ตารางหน่วย จงพิสูจน์ว่า $$s\Big(\frac{1}{x(s-x)^2}+\frac{1}{y(s-y)^2}+\frac{1}{z(s-z)^2} \Big)\ge \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{s-x}+\frac{1}{s-y}+\frac{1}{s-z}\Big)$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

7. จงหาฟังก์ชัน $\displaystyle{f : \mathbb{R}-\left\{ 0\,\right\} \rightarrow \mathbb{R} }$ ที่
$$f(x)+f(1-\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

8. กำหนดให้ $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ จงแสดงว่า $$\frac{a^{11}}{b^5c^5}+\frac{b^{11}}{c^5a^5}+\frac{c^{11}}{a^5b^5}\ge a+b+c$$
(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

9. กำหนดให้ $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ ถ้า $3=a+b+c\le 3abc$ จงแสดงว่า $$\frac{1}{\sqrt{2a+1}}+\frac{1}{\sqrt{2b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c+1}}\le \left( \frac32\right)^{3/2}$$
(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

10. กำหนดให้ $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2=3$ จงแสดงว่า $$\frac{ab}{a^4+ab+b^4}+\frac{bc}{b^4+bc+c^4}+\frac{ca}{c^4+ca+a^4}\le 1$$
(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

มัธยมปลาย

ตอนที่ 1: จงเขียนเฉพาะคำตอบพร้อมหน่วย(ถ้ามี)ของทุกข้อในความคิดเห็นเดียวกัน
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 2 คะแนน

1. จงหาช่วงของค่า $k$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\left|\,\dfrac{x^2+kx-1}{x^2-x+2555}\right|<1 $ สำหรับทุก $x\in \mathbb{R} $

(เสนอโดย คุณ Ne[S]zA)

2. กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ และฟังก์ชันค่าจริง $f$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$$f\left(\det(A)\right)=\sum_{i = 1}^{n-2554} \det(\text{adj}(\text{adj}(\dots(\text{adj}(A\underbrace{))\dots))}_{i\ \text{วงเล็บ}} )$$
โดยที่ $\det(A)>1$ จงหาช่วงของมิติของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งทำให้ $f(\det(A))>0$

(เสนอโดย คุณ Ne[S]zA)

3. กำหนดให้ $e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots$
จงหาค่าของ
$$\frac{2}{1+3\cdot 1!}+\frac{3}{1+3\cdot 1!+7\cdot 2!}
+\frac{4}{1+3\cdot 1!+7\cdot 2!+13\cdot 3!}+\frac{5}{1+3\cdot 1!+7\cdot 2!+13\cdot 3!+21\cdot 4!}+\cdots$$
(เสนอโดย คุณ Ne[S]zA)

4. กำหนดให้ $k$ เเทนผลบวกของคำตอบของสมการ
$$12^x+2\cdot 6^x+3(9^x+2^{x+1})=2^{2x+1}+18^x +3(2\cdot 3^x+6^x)$$
จงหาค่าของ $2554-2011k$

(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

5. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{\cos{(A-B)}}{\cos{(A+B)}}+\frac{\cos{(C+D)}}{\cos{(C-D)}} = 0}$
จงหาค่าของ $\displaystyle{\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

6. กำหนดให้ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$
จงหา $$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2)(1+\delta^2)$$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

7. จงหารูปอย่างง่ายของ
$$\frac{\cos{3^{\circ}}\sin{4^{\circ}}\cos{5^{\circ}}+\cos{5^{\circ}}\sin{6^{\circ}}\cos{7^{\circ}}+\cos{7^{\circ}}\sin{8^{\circ }}\cos{9^{\circ}}+...+\cos{175^{\circ}}\sin{176^{\circ}}\cos{177^{\circ}}}{\cos{1^{\circ}}\cos{5^{\circ}}}$$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

8. ให้ $F_n$ เป็นลำดับซึ่งกำหนดโดย $$F_1 = F_2 = 1\quad \text{และ} \quad F_{n+2} = F_{n+1}+F_{n},\ \forall n \in \mathbf{Z}^+ $$ จงหาค่าของ $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{F_k}{3^k}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

9. กำหนด ลำดับ $$\displaystyle{x_1 = \frac{1}{2} ,\quad x_n = \frac{\sqrt{x_{n-1}^2+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}}$$ จงหาค่าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_n^2}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

10. กำหนดให้ $x > 0$ จงแก้สมการ
$$\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2+x}}}}}^{n\ \text{ชั้น}} + \sqrt{3}\overbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}}}}^{n\ \text{ชั้น}} = 2x$$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

11. กำหนดให้ $P(x) = (1+x+x^2+\cdots+x^{17})^2-x^{17}$ มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด 34 ราก โดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้
a) รากทุกตัวอยู่ในรูปของ $\displaystyle{z_k = r_k(\cos{(2a_k\pi)}+j\sin{(2a_k\pi)}),\ k=1,2,\dots,34}$
b) $\displaystyle{0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \ldots \leqslant a_{34} < 1}$
c) $\displaystyle{r_k > 0}$
กำหนดให้ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = \dfrac{m}{n}$ เมื่อ $\dfrac{m}{n}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ จงหาค่า $m+n$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

12. กำหนดลำดับ $\left\{ a_n\,\right\},n=0,1,2,\dots$ โดยที่ $(3-a_{n+1})(6+a_n) = 18$ และ $a_0 = 3$ \\
จงหาค่าของ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{a_k}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

13. กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็ม จงแก้สมการ $3^x(3-x^2)=x^2+2x+3$

(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

14. ให้ $S_n$ เป็นผลรวม $n$ พจน์แรกของลำดับ $18,31,43,53,59,57,\dots$
จงหาว่า $S_n$ เกิดค่าสูงสุดเมื่อ $n$ เป็นเท่าใด

(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

15. กำหนดให้ $k,m,n\in \mathbb{N}$ จงแก้สมการ $$k^2+m^2=3+(2!)^2+(4!)^2+(6!)^2+\cdots+[(2n)!]^2$$
(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

ตอนที่ 2: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 5 คะแนน

1. กำหนดเมทริกซ์ขนาด $9\times 9$ มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ $1$ ถึง $81$ จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $k$ ซึ่ง $1\leq k\leq 9$
และผลคูณของสมาชิกทุกตัวในแถวที่ $k$ มีค่าแตกต่างจากผลคูณของสมาชิกทุกตัวในหลักที่ $k$

(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)

2. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 จงพิสูจน์ว่า

$$\prod_{k = 1}^{n} \tan\left[ \frac{\pi}{3}(1+\frac{3^k}{3^n-1})\,\right] = \prod_{k = 1}^{n} \cot\left[ \frac{\pi}{3}(1-\frac{3^k}{3^n-1})\,\right]$$

เมื่อ $\displaystyle{\prod_{k = 1}^{n}a_k = a_1a_2a_3\cdots a_n}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

3. จงพิสูจน์ว่า $$2\sqrt{7}\cos{\left[ \frac{1}{3}\cos^{-1}{\frac{1}{2\sqrt{7}}}\,\right] }-6\cos{\frac{2\pi}{7}} = 1$$
Hint : $\displaystyle{\cos{[\frac{1}{3}(\cos^{-1}{\frac{1}{2\sqrt{7}}}-2\pi)]}}$ และ $\displaystyle{\cos{[\frac{1}{3}(\cos^{-1}{\frac{1}{2\sqrt{7}}}-4\pi)]}}$ มีค่าเป็นลบ

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

4. จงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4-\cdots}}}}}} = 2(\cos{\frac{4\pi}{19}}+\cos{\frac{6\pi}{19}}+\cos{\frac{10\pi}{19}})$$
เครื่องหมายเป็น $+,+,-,+,+,-,\dots $

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

5. จงหาผลรวมของ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {\sin^2{k\theta}}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

6. จงหาค่าของ
$$\sqrt{(2-\sin^2{\frac{\pi}{7}})(2-\sin^2{\frac{2\pi}{7}})(2-\sin^2{\frac{3\pi}{7}})}$$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

7. เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $(x,y,z)$ ที่เป็นบวกของระบบสมการ
$$(2n+1)(x+\frac{1}{x}) = (2n^2+2n)(y+\frac{1}{y}) = (2n^2+2n+1)(z+\frac{1}{z})$$
$$xy+yz+zx = 1$$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

มัธยมต้น

ตอนที่ 1: จงเขียนเฉพาะคำตอบพร้อมหน่วย(ถ้ามี)ของทุกข้อในความคิดเห็นเดียวกัน
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 2 คะแนน

1. ให้ $x,y,z \in \mathbb{C} $ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$x+y+z = 2 ,\quad x^2+y^2+z^2 = 3 ,\quad xyz = 4$$
จงหาค่าของ $999(\dfrac{1}{xy+z-1} +\dfrac{1}{yz+x-1}+\dfrac{1}{zx+y-1})$

(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)

2. สี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $\angle DAB = 60^\circ ,\angle ABC = 90^\circ,\angle BCD = 120^\circ$
เส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ตัดกันที่จุด $M$ ถ้า $MB =1 ,MD = 2$ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$

(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)

3. จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1}$

(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)

4. จงหาคำตอบทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{18}{x^2-22x+127}=2x^4-204x^2-132x+729$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

5. จงหาสามหลักสุดท้ายของ $\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k$ เมื่อ กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ
$$x^3-543x^2+2011x-2554=0$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

6. กำหนดให้ $x,y,z$ เเทนความยาวด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$(x^2-xy)(x-y)+(y^2-yz)(y-z)+(z^2-zx)(z-x)=0$$ เเละมีความยาวรอบรูปเท่ากับ $543$ หน่วย จงหา พื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้

(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

7. จากภาพ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัส CEFG และความยาวรอบรูปของหกเหลี่ยม ABEFGD มีค่าเป็น 2 หน่วย
ต่อ FC ไปทาง C ถึง M ทำให้ $MA=MB=MF$ แล้วพื้นที่ของหกเหลี่ยม ABFGMD มีค่าเท่าไร

(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

8. กำหนดให้ $\displaystyle{H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}$ ถ้าเราทราบว่า $\displaystyle{7.4854 < H_{1000} < 7.4855}$
จงหาจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุด ที่น้อยกว่า $\displaystyle{H_1+H_2+H_3+...+H_{1000}}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

9. กำหนดให้ $a > b > c>d>0$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} = \frac{13}{2}$$
$$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b} = 9$$
จงหา $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ กำหนดให้
$$S_n = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
$$T_n = S_1+S_2+S_3+...+S_n$$
$$U_n = \frac{T_1}{2}+\frac{T_2}{3}+...+\frac{T_n}{n+1}$$
จงหา $a+b+c+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่ $T_{510} = aS_{511}-b$ และ $U_{510} = cS_{511}-d$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

11. ให้ $a,b,c\in \mathbb{N}$ จงหาค่าของ $a+b+c$ ถ้า $(1+\dfrac{8}{a^2})(1+\dfrac{8}{b^2})(1+\dfrac{8}{c^2})=33$

(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

12. กำหนดให้ $\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$ จงหาค่าของ $\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$ ในรูปของ $k$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

13. จงหาค่าของ
$$\genfrac{}{}{2pt}{}{\dfrac{1\times 2\times 3}{1000}+\dfrac{2\times 3\times 4}{1000}+\dfrac{3\times 4\times 5}{1000}+\cdots+\dfrac{998\times 999\times 1000}{1000}}{\dfrac{1000}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1000}{2\times 3\times 4}+\dfrac{1000}{3\times 4\times 5}+\cdots+\dfrac{1000}{998\times 999\times 1000}}$$
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

14. กำหนดให้ $a , b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $2a=b+c$ และ $2a^3=b^3+c^3$ ถ้า $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}=x+y\sqrt{z}$ เมื่อ $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของ $xyz$

(เสนอโดย คุณ คุณ Scylla_Shadow)

ตอนที่ 2: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 5 คะแนน

1. สามเหลี่ยม ABC มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม จุด D,Eและ F อยู่บน BC,CA และ AB ตามลำดับ
ทำให้ รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABD และสามเหลี่ยม ACD มีขนาดเท่ากัน
รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม BCE และสามเหลี่ยม BAE มีขนาดเท่ากัน
รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม CAF และสามเหลี่ยม BAF มีขนาดเท่ากัน
ถ้า BD,CEและAF มีความยาวเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่จะเป็นไปได้
และ AD,BE และ CF มีความยาวเป็นจำนวนเต็ม
จงหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วย AD,BE และ CF

(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

2. ห้าเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5$ มี $A_2A_5$ แบ่งครึ่ง $\angle A_1A_2A_3$ ,
$\angle A_3A_2A_4:\angle A_4A_2A_5:\angle A_2A_5A_1:\angle A_5A_1A_2:\angle A_1A_3A_4=3:4:5:6:7$ และ
$\angle A_2A_1A_3:\angle A_2A_3A_1:\angle A_2A_4A_3:\angle A_1A_2A_5=1:3:5:7$
ถ้า $\overline{A_iA_{i+2}} $ ตัด $\overline{A_{i+1}A_{i+3}} $ ที่ $B_i$ สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$ (เมื่อ $A_{j+5}=A_j$)
จงหาค่าของ $\angle B_1B_2B_3+\angle B_2B_3B_4-\angle B_3B_4B_5$ ทั้งหมดที่จะเป็นไปได้

(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

3. กำหนดให้ $$F(a,b,c) =\max_{1\leq x\leq 3}|x^{3}-ax^{2}-bx-c|$$
เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $F(a,b,c)$

(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)

4. ให้ $M$ และ $N$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดและมากที่สุดซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
a) ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย 1
b) ประกอบด้วยเลขโดด 0 และ 1 เท่านั้น อย่างละ 1001 ตัว
ถ้า $\dfrac{M}{N}=\dfrac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมี หรม.เป็น 1
จงหาผลบวกเลขโดดของ $a+b$

(เสนอโดย คุณ คุณ Scylla_Shadow)

ในการแข่งครั้งนี้ ไม่มีระดับประถมศึกษา เนื่องจากไม่มีโจทย์ที่เหมาะสมส่งมาในระดับดังกล่าวครับ

โปรดติดตามรายละเอียดและเงื่อนไขรางวัลในกระทู้กฎ กติกา มารยาท นะครับ

ขอให้สนุกกับการแข่งขันครั้งนี้ครับ

edit log

1. แก้โจทย์ตอน 1 ข้อ 7 ม.ต้น ตาม #2 + อัพเดทไฟล์ pdf
2. ยกเลิกโจทย์ตอน 2 ข้อ 3 ม.ต้น ตาม #4 + อัพเดทไฟล์ pdf
3. แก้โจทย์ตอน 1 ข้อ 8 ม.ปลาย ตาม #9 และ #10

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

7. จากภาพ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัส CEFG และความยาวรอบรูปของหกเหลี่ยม ABEFGD มีค่าเป็น 4 หน่วย
ต่อ FC ไปทาง C ถึง M ทำให้ $MA=MB=MF$ แล้วพื้นที่ของหกเหลี่ยม ABFGMD มีค่าเท่าไร

(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

จำได้ว่า แก้ความยาวรอบรูป เป็น 2 หน่วยครับ

[nongtum]

ประกาศ

แก้โจทย์ตอนที่ 1 ข้อ 7 ม.ต้น ตาม #2 นะครับ ใครที่โหลดไฟล์ pdf ไปแล้ว รบกวนโหลดใหม่อีกครั้งครับ

[Influenza_Mathematics]

คำถามข้อ 3 วิธีทำ ผมเคยเอามาถามแล้วครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12749 (จะยกเ้ลิกหรือไม่ก็สุดแล้วแต่ครับ)

[nongtum]

#4
เพื่อความยุติธรรม งั้นก็ยกเลิกคำถามนี้ละกันนะครับ ใครโหลดไฟล์ไปแล้ว แล้วทำข้อนี้มา ผมยังจะตรวจให้แต่ไม่ได้คะแนนนะครับ

[LightLucifer]

อสมการมาแรงจริงๆเชื่อแล้วครับ

แต่รอบนี้คนส่งโจทย์เยอะจังเลยแหะ 55+

[จูกัดเหลียง]

งง ข้อ 9. (โอลิมปิก)อ่ะครับ
ถ้า ใช้อสมการของ A.M.-G.M. จะได้ $a+b+c=3\ge 3\sqrt[3]{abc}\rightarrow abc\leq 1$ เเต่ที่โจททย์กำหนด เราจะได้ว่า $abc\ge 1$ อ่ะครับ

[nongtum]

#7
โจทย์และวิธีที่ผมได้มาจากเจ้าของโจทย์ เหมือนจะไม่ได้ใช้ AM-GM นะครับ
แต่ถ้าแสดงได้ว่าอสมการโจทย์ที่ได้ไม่จริง หรือจริงเฉพาะบางกรณีได้ถูกต้องครบถ้วน ก็ได้คะแนนเต็มเหมือนกันครับ

[SolitudE]

ม.ปลาย ตอนที่ 1 ข้อ 8 น่าจะผิดเล็กน้อยตรง

$k=0$ ซึ่งน่าจะเป็น $k=1$ (ใต้ซิกมา)

[-InnoXenT-]

ม.ปลาย ตอนที่ 1 ข้อ 8 ผมพิมพ์ผิดตั้งแต่ ตอนให้โจทย์แล้วครับ รบกวนแก้ให้ด้วยครับ เปลี่ยนเป็น

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{F_k}{3^k}$$

[nongtum]

#9
รับทราบ แก้ตามนั้นเลยคร้าบ ใครโหลดไฟล์ไปแล้วใช้ปากกาแก้ไปเลยเน้อ

[Real Matrik]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

งง ข้อ 9. (โอลิมปิก)อ่ะครับ
ถ้า ใช้อสมการของ A.M.-G.M. จะได้ $a+b+c=3\ge 3\sqrt[3]{abc}\rightarrow abc\leq 1$ เเต่ที่โจททย์กำหนด เราจะได้ว่า $abc\ge 1$ อ่ะครับ

ของผมเองครับ ขออภัย

[poper]

เห็นโจทย์แล้วอยากร้องไห้เลยครับ

[Suwiwat B]

คุณ poper แค่อยากร้องไห้ ... เเต่ผมร้องไห้ไปเเล้วล่ะครับ 55+

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

เห็นโจทย์แล้วอยากร้องไห้เลยครับ

ไม่เป็นไรงับ ผมร้องไห้ไปแล้วงับ
ปล. ทำของม.ต้นสิงับ น่าจะง่ายที่สุด (มั้ง)