โจทย์อินทิเกรตตรีโกณครับ

[catengland]

$\int tan^{2}2x\cdot sec^{4}x\,dx $ $= ?$

[Yuranan]

เลือก $U=tan(x)$ และก็จัดรูป $tan^2(2x)*sec^4(x)=(sec^2(2x)-1)*sec^4(x)$
สำหรับ $\int\,sec^4(x)dx$ =$\int\,(1+U^2)dU=U^3/3+U=tan^3(x)/3+tan(x)$
ส่วน $\int\,sec^4(x)*sec^2(2x)dx$=$\int\, (U^2+1)^3/(U^2-1)^2dU$
โดย $cos^2(2x)=(cos(4x)+1)/2$ และ $cos(4*tan^{-1}(U))=\frac{U^4-6U^2+1}{(U^2+1)^2}$
คำตอบที่ได้ น่าจะเป็น $$-\frac{4tan(x)}{tan^2(x)-1}+4*tan(x)+4*log(\frac{1-tan(x)}{1+tan(x)} )+C$$

[catengland]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ส่วน $\int\,sec^4(x)*sec^2(2x)dx$=$\int\, (U^2+1)^3/(U^2-1)^2dU$
โดย $cos^2(2x)=(cos(4x)+1)/2$ และ $cos(4*tan^{-1}(U))=\frac{U^4-6U^2+1}{(U^2+1)^2}$

ผมไม่เข้าใจบรรทัดนี้อะครับ T_T ขอละเอียดอีกนิดจิครับ

[Yuranan]

โอเคคับ ผมขอเริ่มจาก $sec^4(x)*sec^2(2x)=\frac{2sec^4(x)}{cos(4x)+1}$

สำหรับ การหา $cos(4tan^{-1}(x))$ ให้สร้างสามเหลี่ยมจาก $U=tan(x)$ จะได้ว่า $sin(x)=\frac{U}{\sqrt{1+U^2} }$ และ $cos(x)=\frac{1}{\sqrt{1+U^2} }$ และแทนใน $cos(4x)=sin^4(x)+cos^4(x)-6sin^2(x)cos^2(x)$ และก็จะได้ตามที่ผมทำไว้ด้านบนนะคับ

[catengland]

ขอบคุณ คุณ Yuranan มากนะครับ